counting_chap2

Combinations(2)
古川
勇輔
Ex2.7 射撃競技の的を撃つ順番の組み合わせ
・ルール
図のような的を順に打っていく
打ち方の決まり
1)打つ列を決める
2)その列の一番下の的を撃つ
的8個を1列に並べる
それを3,3,2個に分ける
それぞれの色について
左から順に1,2,3とする
１
１
１
２
２
よって、組み合わせの総数は
３
２
３
２
１
２
１
３
１
２
３
Ex2.8 23人を、5つの3人グループと、
2つの4人グループに分けたい。
23人から順に
４
3,3,3,3,4,4人を
選んでいけばいいので
Not So Fast, My Friend!!!!
４
３
３
３
３
３
それぞれの3人グループ、4人グループ
は見分けがつかない
AB
C
DEF
DEF
AB
C
よって、総和は
３
３
３
４
４
３
３
３
４
４
Ex2.8 桜の木3本、桃の木4本、藤の木5本
これらを１列に並べるとき
藤の木が隣合わない確率は？
2つの解法を示す
①それぞれの木が、互いに区別できる
場合
②それぞれの木が、互いに区別できな
い場合
①それぞれの木が区別できる場合
すべての木の並べ方は１２！通り
藤の木以外の並べ方は７！通り
その両端及び間に5本の藤を植えるので
植え方は 8P5 通り
よって、確率は、
①それぞれの木が区別できない場合
すべての木の並べ方は
藤の木以外の並べ方は
その両端及び間に5本の藤を植えるので
植え方は
よって、確率は、
Ex2.10 Sは0≤x≤2,0≤y≤3,0≤z≤4を満たす整数について
(x,y,z)となる点。Sの異なる2点を選ぶとき
その中点もSに属している確率は？
方針
選ばれる2点
とする
その中点が整数となるためには
この全てが偶数となればよい
よって、共に奇数となるか、共に偶数
となるかのどちらか
つまり、全ての要素の偶奇が等しい2つ
の点が選ばれればよい
①選ぶ点の前後を区別しない場合
全ての選び方は
例えば、全ての要素が奇数となるS上の
点について考える
x座標が奇数となるのは1のみ、y及びz
座標は1と3があるから
1×2×2＝4通り
これをx,y,zの全ての偶奇について考え、
その中から2点を選ぶ選び方を考える
全ての座標が偶数：2・2・3＝12
x座標のみが奇数：1・2・3＝4
y座標のみが奇数：2・2・3＝12
z座標のみが奇数：2・2・2＝8
x座標のみが偶数：2・2・2＝8
y座標のみが偶数：1・2・2＝4
z座標のみが偶数：1・2・3＝6
よって、求める確率は
②選ぶ点の前後を考慮する場合
選び方の総数は60・59＝3540通り
中点のx座標が整数となるためには
偶数同士か奇数同士を選ぶ。
0≤x≤2より、この中には偶数が2つ
奇数が1つあることから、選び方は
通り
このうち
の3通り
については、同じ点を選んでいる
同様にして、yについては
このうち4つが同じ点
zについては
このうち5つが同じ点となる。
よって、中点が整数となる選び方は
5・8・13＝520 全く同じ点を選んでは
ならないので3・4・5＝60通りは題意に
反する。よって、520-60＝460通り。
以上より、求める確率は
よくある間違い
②の場合において、総数を
とするのは、間違い
⇒確率を求めるために使うのは
今回は、異なる2点を選ぶので、総数の
中に同じ2点を選ぶ場合を含めてはなら
ない。
Ex2.10 9組の靴下の中から8つ取り出した時に
ちょうど2つ靴下の組ができている確率は？
選び方の総数は
組として取られる靴下の選び方は
それ以外の4足の選び方は左右2つの中
から1つが選ばれる事を考えると
以上より、求める確率は
Ex2.12 {1,2,3,…1000}から3つの数字を選び、
とする。残った数字から同様の
操作を行い、
とする。
原点と
を使って作られる直方
体が、原点と
を使って作られ
る直方体に含まれる確率は？
ただし、回転させて同じものは同一
とする。
求める条件は、
となることである。
これらの条件から、が最も小さく、
が最も大きくなることが分かる。
次に、は
,
より大きいため、
4番目か5番目になる。これによって
場合分けを行う
方針
Ex2.7と同様の方法を用いる。
6つの選ばれる数を小さいほうから順に
並べ、それを3つずつに分ける。
それを、小さいほうから順にそれぞれ
と定め、条件を
満たすかどうかを考える。
a1
b1
総数は
a2
a3
通り
c2
c3
が4番目になる時
自動的に、5番目は
となり、2番目と
3番目に、又は
が入る
よって、このとき条件を満たすものは
2通りとなる
ii)
が5番目になる時
は、2番目、3番目、4番目に入る
そのそれぞれについて、aの残りの要素
が1通りに決まるから、条件を満たすも
のは3通りとなる。
以上より、確率は
i)
Ex2.13 見分けのつかない5個の椅子2組を、輪にな
るように並べる
回転して同じ形になるものは1つと数え
るとして、全部で何通りの並べ方があるか？
全ての選び方は
2つの場合に分けて考える
i)下図のような場合
このように選ばれるのは、2通り。
この2通りは回転すれば
同じになるため、1通りと数える。
ii)それ以外の場合
どのような場合に対しても、回転させ
ることにより、10通りの同じ並べ方が
存在する。
この場合の総数は252-2=250通り
同じ並べ方を省くと、
よって、求める並べ方は、1＋25=26
Ex2.14 nを3以上の整数とし、Pn(n=1,2,…,n)
を円周をn等分する点とする。
この中から3点を選ぶとき、それらに
よって作られる三角形が鈍角三角形
となる確率は？
全ての三角形に対し、
この円が外接円になる
ことを利用する
3点が、ある直径に関して
同じ側にあればよい
nの偶奇によって考える
i)n=2m(偶数)の時
がの逆にある。を通る三角形
について、を使うなら、直角三角形
以外の点として、取れる数は
全部でn点より、取れる数の総数は
鋭角は2つあるので
ii)n=2m-1(奇数)の時
i)との違いは、直径となる点が無いこと
同様にについて考えると、点の選び
方は、i)と同様に考えて
全ての三角形の選び方は
であるから、求める確率は

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