物質情報学 5（量子力学），担当 谷村省吾，講義ノート 1
複素数
複素数は量子力学にとって最も基本的な道 という記号を定めれば，x2 = −1 の根は x = ±i
具・言葉である．複素数は抽象的な記号だが， と書ける．i は虚数単位 (imaginary unit) と呼
複素平面という視覚イメージを持つと理解し ばれ，i2 = −1 という式で特徴付けられる．虚
やすくなるし，たいして難しいものではない． 数を使えば，例えば
しかし，実際に自分で手を動かして計算したり
x2 = −4
(6)
√
x2 = ± −4 = ±2i
(7)
絵を描いたりしないと，自由に扱えるようにな
らないし，本当には複素数を理解しないままで の根は
いることになる．面倒くさがらずに計算練習を
やってほしい．こういうことをしつこく言って と書ける．
も，試験をしてみると複素数の計算がまったく
問 1. 方程式
できない学生が何人かいる．複素数なしには量
子力学は理解できないので，何としても自分の
az 2 + bz + c = 0
(8)
ものにするつもりで取り組んでほしい．
の解は，
√
b2 − 4ac
z=
(9)
2a
で与えられることを示せ（b2 − 4ac < 0 のとき
虚数の導入
−b ±
実数全体の集合を R と書く．実数は加減乗 の解は虚根と呼ばれ，
√
除（和差積商）の四則演算ができる（0 で割る
−b ± i 4ac − b2
z=
ことだけはできない）．実数は二乗すれば必ず
2a
正または 0 になる：
で与えられる）．
∀x ∈ R,
x2 ≥ 0
(1)
複素数の定義
ゆえに，二乗して負になる実数はない．例えば
x2 = 2
という方程式には
√
x = ± 2 = ±1.41421356 · · ·
(2)
2 つの実数 x, y に対して
z = x + iy
という．複素数全体の集合を C と書く．また，
複素数 z = x + iy に対し
(4)
x = Re z,
という方程式を満たす実数 x はない．それでも
形式的に
i=
√
(11)
(3) と書かれる記号 z を複素数 (complex number)
という実数根が存在するが，
x2 = −1
(10)
y = Im z
(12)
と書き，x を z の実部 (real part), y を z の虚部
−1
(5) (imaginary part) という．
1
非負の実数になる．絶対値の計算結果に虚数 i
複素数の演算
が現れることはあり得ない．絶対値が負の数に
実数 a, b, c, d に対して
z = a + ib,
なることもない．
w = c + id
(13)
問 2. 上の式 (17) で定めた
という 2 つの複素数 z, w を定めると，これら
z
w
に対して
z
·w = z
w
の和差積商は
z + w = (a + c) + i(b + d),
(14) が成り立つことを確かめよ．つまり，
z − w = (a − c) + i(b − d),
(15)
zw = ac − bd + i(ad + bc),
z
ac + bd + i(−ad + bc)
=
w
c2 + d2
(16)
ac + bd + i(−ad + bc)
· (c + id)
c2 + d2
(24)
(25)
(17) を計算して，これが a + ib になることを確か
めよ．
で定められる．
z = a + ib の虚部の符号を変えた複素数を
z̄ = z ∗ = a − ib
代数学の基本定理
(18)
と書き，z の共役複素数 (conjugate) という．
また，
|z| = |a + ib| =
√
a2 + b2
n = 1, 2, 3, · · · と任意の複素数 a1 , · · · , an に
対し方程式
(19)
z n +a1 z n−1 +a2 z n−2 +· · ·+an−1 z+an = 0 (26)
を z の絶対値 (absolute value) という．|z| は必
にあてはまる複素数 z が必ず存在する．解は
ず正または 0 の実数である．例えば，
（重根があれば重複度の分だけ繰り返し数えれ
|4 + 3i|2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 (20)
ば）n 個存在する．
√
|4 + 3i| = 25 = 5
(21)
実数係数の代数方程式の実数解は存在する
2
(4 + 3i) = (4 + 3i)(4 + 3i)
とは限らないが（例えば x2 + 1 = 0 の実数解
= 42 + 2 × 4 × 3i + (3i)2
はない），複素数係数の代数方程式には複素数
= 16 + 24i − 9
解でよければ必ず解が存在するというのが上
= 7 + 24i
|(4 + 3i)2 | = |7 + 24i|
√
= 72 + 242
√
= 49 + 576
√
= 625 = 25
の主張である．複素数は 2 次方程式を形式的に
(22)
解くために導入されたものだが，それだけで 3
次方程式も 4 次方程式も解の存在が保証される
のであり，代数方程式の解の存在を保証すると
いう目的に限れば複素数以上の拡張概念は必要
(23) ないのである．
問 3. 以下のそれぞれの方程式にあてはまる
という等式が成り立つ．それぞれ何を計算して
いるのかよく見てほしい．とくに，|4 + 3i| と 複素数 z を求めよ（答えは具体的な実数 a, b を
2
(4 + 3i)2 は等しくない．注意：絶対値は必ず 使って a + bi の形で書け．解が 2 つ以上ある場
2
指数関数
合はすべての解を書くこと）．
z 2 = 2i
(27)
(ii) z 2 = 3 + 4i
(28)
(iii) z 2 = −5 + 12i
(29)
(iv) z 2 = −15 + 8i
(30)
(iv) z 3 = −2 + 2i
(31)
(i)
正の実数 a を底とする指数関数は，掛け算の
繰り返しで定義される：
an = a × a × · · · × a (n 個の a の積) (41)
この定義から，指数法則と呼ばれる性質
複素平面
am+n = am · an
(42)
実数 x を横軸の数直線で表し，実数 y を縦軸
の数直線で表せば，複素数 z = x + iy は xy 平 が成り立つことが証明できる．
面上の点で表される．このような平面を複素
指数関数の素朴な定義式 (41) によって，x が
平面 (complex plane) といい，x 軸を実軸 (real 自然数のときに ax は定義されるが，x の値が
axis), y 軸を虚軸 (imaginary axis) という．
0 や負の整数や分数や無理数や複素数の場合で
このとき点 z と原点 0 との距離は絶対値
も ax が指数法則を満たすことを要請して ax の
√
|z| = x2 + y 2
(32) 定義域を拡張することができる．つまり，指数
関数 ϕ(x) は形式的に
に等しい．また，原点 0 から点 z を通る半直
線と x 軸のプラス側半直線とがなす角を z の
偏角 (argument) あるいは位相 (phase) という．
ラジアン単位で測った偏角を
arg z
(43)
を満たすものとする．この定義から，
(33)
ϕ(x) = ϕ(x + 0) = ϕ(x) · ϕ(0)
と書く．arg z = θ とおけば
z = |z| (cos θ + i sin θ)
ϕ(x + y) = ϕ(x) · ϕ(y)
(44)
(34) なので，ϕ(x) ̸= 0 であれば
が成り立つ．これを複素数の極表示ともいう．
ϕ(0) = 1
問 4. 以下の複素数の位置を複素平面に図示
せよ．さらにそれぞれの |z| と arg z を求めよ．
(i)
z =1+i
(45)
がわかる．もしも ϕ(b) = 0 となるような数 b
があれば，任意の x について
(35)
√
(ii) z = 1 + i 3
√
(iii) z = 3 + i
√
(iv) z = −1 + i 3
(37)
(v) z = −1 − i
(39)
(vi) z = 1 − i
(40) とを要請する．
ϕ(x) = ϕ(x − b + b) = ϕ(x − b) · ϕ(b) = 0
(36)
が言えてしまい，ϕ(x) は恒等的にゼロになっ
(38)
てしまう．これでは面白い関数とは言えない
ので，ϕ(b) = 0 となるような b は存在しないこ
3
また，指数関数 ϕ(x) の性質を知るために，そ である．複素数 α と実数 t に関して
の微分を調べる：
ϕ(x + h) − ϕ(x)
dϕ
= lim
h→0
dx
h
ϕ(x) · ϕ(h) − ϕ(x)
= lim
h→0
h }
{
ϕ(h) − 1
=
lim
· ϕ(x)
h→0
h
= c · ϕ(x)
d αt
e = α eαt
dt
(51)
が成り立つ．また，任意の複素数 z, w に対して
(46)
(exp z)∗ = exp(z ∗ )
(52)
ez+w = ez · ew
(53)
つまり，関数 ϕ(x) は x で微分しても定数倍に が成り立つ．実数 θ に対して
なるだけである．とくに c = 1 と選んで，微分
2
iθ 方程式の初期値問題
e = eiθ (eiθ )∗ = eiθ e−iθ
dϕ
= ϕ(x),
dx
ϕ(0) = 1
= eiθ−iθ = e0 = 1
(47)
の解
(54)
が成り立つので，
ϕ(x) =
∞
∑
1 n
x
n!
n=0
iθ e = 1
(55)
1
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · (48)
である．
2
3!
また，
を自然な指数関数 ϕ(x) = ex と呼ぶ．この形で
指数関数を定義しておくと，変数 x に実数で
も複素数でも正方行列でも代入することがで
eiθ = cos θ + i sin θ
(56)
きる．
e−iθ = cos θ − i sin θ
(57)
あるいは
複素数の指数関数
1
cos θ = (eiθ + e−iθ )
2
1
sin θ = (eiθ − e−iθ )
2i
複素数 z の指数関数 (exponential function)
は
ez =
∞
∑
n=0
1 n
z
n!
1
1
= 1 + z + z2 + z3 + · · ·
2
3!
(58)
(59)
で三角関数 cos, sin を定義する．(56) を使うと，
複素数の極表示 (34) は
(49)
z = |z| eiθ
で定義される．当たり前ではないことだが，任
(60)
意の複素数 z に対して，この無限級数は収束す
る．ez = exp z とも書く．明らかに
e0 = 1
とも書ける．
問 5. 以下の計算をせよ（計算結果は，具体
(50)
4
|z|2 = zz ∗
1
z∗
=
z
|z|2
|zw| = |z| |w|
z |z|
=
w
|w|
arg(zw) = arg z + arg w
(z )
arg
= arg z − arg w
w
的な実数 a, b を用いて a + bi の形に書け）．
(−2 + 3i) + (6 + 5i)
(61)
(−2 + 3i) − (6 + 5i)
(62)
(−2 + 3i) × (6 + 5i)
(63)
4i × (−2 + 3i)
(64)
2
(3 + 4i)
(65)
(3 + 4i)3
(66)
(3 + 4i)∗
(67)
(3 + 4i)∗ × (5 + 2i)
(68)
|3 + 4i|2
(69)
|3 + 4i|
(70)
1
3 + 4i
1
3 + 4i
(88)
(89)
(90)
(91)
問 7. 任意の複素数について以下の関係式が
成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立
つための必要十分条件を示せ．
|z + w| ≤ |z| + |w|,
(92)
|z − w| ≥ |z| − |w|
(93)
問 8. 以下のおのおのの関係式を満たす複素
数 z, w の例を挙げよ．
(72)
(73)
√
i
√
√
1+i 3
|z + w|2 > |z|2 + |w|2
(94)
|z + w|2 = |z|2 + |w|2
(95)
|z + w|2 < |z|2 + |w|2
(96)
(74)
注：(92), (93) は，いかなる複素数 z, w に対して
(75)
iπ/4
も必ず成立する関係式である．(94), (95), (96)
(76) はいつでも成り立つ関係式ではなく，複素数
(77) z, w の値に応じて (94), (95), (96) のうちのど
ei3π/4
eiπ/6
(78) れか一つだけが成立する．
問 9. 次の命題を証明せよ．
「複素数 z, w に
(79)
e−iπ/3
おいて，zw = 0 ならば z = 0 または w = 0 で
問 6. 任意の複素数について以下の関係式が
ある．
」
成り立つことを証明せよ：
1
Re z = (z + z ∗ )
2
1
Im z = (z − z ∗ )
2i
∗
(z + w) = z ∗ + w∗
∗
(87)
(71)
2 + 5i
3 + 4i
e
(86)
∗
(z − w) = z − w
(zw)∗ = z ∗ w∗
( z )∗
z∗
= ∗
w
w
∗
問 10. 次の命題を証明せよ．
「複素数 z におい
(80) て，z = 0 ならば |z| = 0 である．また，|z| = 0
ならば z = 0 である．
」
(81)
問 11. α を任意の複素数，t を実数変数と
(82)
して
(83)
d αt
e = α eαt
dt
(84)
(85) が成り立つことを証明せよ．
5
(97)
問 12. cos, sin の定義式 (58), (59) から
d
cos θ = − sin θ
dθ
d
sin θ = cos θ
dθ
問 15. 次の式を満たす実数の組 (x, y) のグ
ラフを書け：
(98)
x2 − y 2 = 1
(109)
(99)
問 16. 次の関係式を証明せよ：
を示せ．
(cosh z)2 − (sinh z)2 = 1,
d
cosh x = sinh x,
dx
d
sinh x = cosh x
dx
問 13. α, β を任意の実数とする．指数関数
と三角関数を結びつける式 (56) と指数法則
ei(α+β) = eiα eiβ
(100)
(110)
(111)
(112)
問 17. t を正の実数とする．xy 座標平面に
から三角関数の加法定理
おいて原点 O= (0, 0) とする．直線 x = 1 の上
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β(101) に点 A= (1, 0)，点 P= (1, t) を定める．線分
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (102) OA, AP, OP で囲まれる図形の面積を求めよ．
問 18. t を正の実数とする．xy 座標平面に
を導け．
おいて円周 x2 + y 2 = 1 の上に点 A= (1, 0)，点
P= (cos t, sin t) を定める．原点 O= (0, 0) とす
るとき，線分 OA と円弧 AP と線分 OP で囲ま
双曲線関数
れる図形の面積を求めよ．
問 19. t を正の実数とする．xy 座標平面にお
複素数 z に対して
1
cosh z = (ez + e−z )
2
1 z
sinh z = (e − e−z )
2
いて双曲線 x2 −y 2 = 1 の上に点 A= (1, 0) と点
(103) P= (cosh t, sinh t) を定める．原点 O= (0, 0) と
するとき，線分 OA と双曲線の一部分の弧 AP
(104)
と線分 OP で囲まれる図形の面積を求めよ．
で定まる cosh を双曲線余弦関数 (hyperbolic
cosine)，sinh を双曲線正弦関数 (hyperbolic
参考文献
sine) という．また，
tanh z =
cosh z
sinh z
[1] 谷村省吾「ゼロから学ぶ数学・物理の方程
(105)
式」
（講談社）．大学の数学に落ちこぼれた
を双曲線正接関数 (hyperbolic tangent) という．
と思う人は読んでほしいです．
[2] 洲之内治男・猪股清二「関数論」
（サイエン
ス社）．複素数の関数についての本です．
問 14. 次の関数のグラフを書け：
[3] ファインマン，レイトン，サンズ「ファイ
(i)
y = cosh x
(106)
(ii) y = sinh x
(107)
量子力学をはじめて学ぶにはこの本がよい
(iii) y = tanh x
(108)
と思います．
ンマン物理学 5：量子力学」（岩波書店）．
6
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