複素数について

複素平面と複素数の極表示
参考
• 記号 i で表せるものを,
i2 = −1
が成立するような虚数単位とする. 複素数 z が実数 x, y を用いて z = x + yi と表
されているとき, z に対して実座標平面の点 (x, y) を対応させることで複素数全体
と実座標平面を自然に同一視することができる. このように同一視を行った座標平
面を複素平面という. 複素平面において x-軸を実軸, y-軸を虚軸という.
√
• 複素平面上の点 z = x + yi に対して, 原点と z の間の平面上での長さ x2 + y 2 を
z の絶対値といい, |z| で表す. また, 原点から z に向かう半直線と実軸の非負の部
分のなす角1 θ を 0 ≤ θ < 2π の範囲で選んだときの値を z の偏角といい, arg z で
表す.
• 絶対値と偏角を用いると, 複素数 z は
z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z))
と表すことができる. このような表示を z の極表示という. (上記を
z = |z| · ei arg z
とも表せる. 後者の厳密な意味を理解するために, まず無限級数のことを勉強しな
ければならない.) 任意の複素数 z, w に対して,
|zw| = |z| · |w|,
arg(zw) = arg z + arg w
であることに注意.
• 上記によって, ド・モアブルの公式
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
が従う.
• z = x + yi のとき, 複素数 x − yi を z の共役複素数といい, z¯ で表す. (¯
z ) = z, さら
2
に z z¯ = |z| であることに注意.
1
一般角で考えると, 2π の整数倍だけ不定性がある.
練習問題
[1] 次の複素数を a + bi (a, b ∈ R) の形に表せ.
(1) (3 − 2i)(3 + 2i)
(2) (1 + i)5 + 4(1 + i)
(3)
1
1 + 3i
[2] 複素数 (1 + i)6 の実部と虚部を求めよ. [ a と b が実数であり, z = a + bi とな
るとき a を z の実部といい, b を z の虚部という. ]
[3] 複素数 z に関する次の方程式の解を求め, 複素平面に図示せよ.
(1) z 2 = i
(2) z 2 = 15 − 8i
(3) z 3 = −1 − i
[4] 複素数 z に関する次の方程式の解を求め, 複素平面に図示せよ.
(1) z 2 − 6z + 13 = 0
(2) z 2 − iz − 4 + 2i = 0
[5] 実数の助変数 (パラメータ) α に対して, z =
1
+ αi とする. 次に答えよ.
2
(1) arg(1/z) = π/3 となるような α の値を求めよ.
(2) 1/z と複素数
1 の距離が, α によらない定数であることを証明せよ. (ヒント:
1 − 1 を計算すればよい.)
z
[6] a, b, c, d を複素数とする. 次を証明せよ.
(1) (¯
a − c¯)(b − c) − (a − c)(¯b − c¯) = 0 は, a, b, c が同一直線上にあることの必要か
つ十分な条件である.
/
a−c a−d
(2) a, b, c, d が同一円周上にあるならば,
が実数である.
b−c b−d
解答
1
1 − 3i
1 − 3i
1
3
=
=
=
−
i.
1 + 3i
(1 + 3i)(1 − 3i)
10
10 10
√
√
[2] 1 + i の絶対値は 2 であり, 偏角は π/4 となる. 従って |(1 + i)6 | = ( 2)6 = 8 と
arg((1 + i)6 ) = 6 · π/4 = 3π/2 であることがすぐに分かる. よって (1 + i)6 の実部
は 8 cos(3π/2) = 0 であり, 虚部は 8 sin(3π/2) = −8 となる.
[1] (1) 13
(2) 0
(3)
1
1
1
1
[3] (1) z 2 = i の解は z1 = √ + √ i, z2 = − √ − √ i. 極表示から考えればよい.
2
2
2
2
(2) z 2 = 15 − 8i なる未知複素数 z に関して, x = Re(z), y = Im(z) とする.
z 2 = x2 − y 2 + 2xyi によって x2 − y 2 = 15, 2xy = −8. 前者より x4 − x2 y 2 = 15x2 .
ここに後者から得た x2 y 2 = 16 を代入して x4 − 15x2 − 16 = 0. これは x2 に対して
二次方程式で, ただ一つの非負の解は x2 = 16 である. 従って x = ±4, y = ∓1, す
なわち元々の方程式の解が z1 = 4 − i, z2 = −4 + i となる.
(3) z 3 = −1 − i は三次方程式なので
, 三つの解がある
. −1 − i の偏角 5π/4 を
(
)
√
1
i
6
2π − 3π/4 の形に見れば, z1 = 2 √ − √
が解であることがすぐに分かる. 方
2√
2
√
1
3
1
3
3
程式 u = 1 の非自明な解 u1 = − +
i と u2 = − −
i を z1 に掛けてあと
2
2
2
2
二つの解
√
6
z2 = z1 u1 = 2
および
√
6
z3 = z1 u2 = 2
(
(
1
1
√ −√ i
2
2
)(
[
(√
) ]
√ )
√
√
3
1
3
3
1
1
6
√ + √
i = 2 − √ + √ +
i
− +
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
[
) ]
( √
√ )
√
)(
√
1
1
1
1
3
3
3
1
6
√ −√ i
i = 2 − √ − √ + − √ + √
i
− −
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
が得られる.
注釈 arg(z1 ) = 7π/4. arg(z2 ) = −π/4 + 2π/3 = 5π/12. arg(z3 ) = 5π/12 + 2π/3 =
√
13π/12. 例えば, z2 = 6 2(cos 5π/12 + i sin 5π/12) と書いてもいい. これから
√
√
√
√
√
√
5π
π
5π
1
3
1
6+ 2
3
6− 2
sin
= √ + √ =
と sin
= cos
=− √ + √ =
12
4
12
12
4
2 2 2 2
2 2 2 2
であることが分かる.
(1)
(2)
i
z1
z2
1
5π
1
12
−π/4
z1
π/4
1
z2
z2
(3)
z3
15 − 8i
−1 − i
z1
[4] 二次方程式の解の公式が複素数係数の場合でも適用できる. よって
(1) z 2 − 6z + 13 = 0 の解は z1 = 3 + 2i, z2 = 3 − 2i である.
√
(2) z 2 −iz−4+2i = 0 の時, z = 12 (i± 15 − 8i). [2](2) によって z1 = 12 (i+4−i) = 2,
z2 = 21 (i − 4 + i) = −2 + i.
2 6
sz1
6
sz2
-
3
−2
1
z
−2
s 1-
2
sz2
注意実数係数の多項式の実数でない根が互いに共役な複素数となる. 実数でない
係数の場合にはそうではない.
1
− αi
1
1
π √
1
[5] (1)
= 1
))
=
tan
= 3 となるような α について,
= 12
が
tan(arg(
z
z
3
+ αi
+ α2
2
4
√
−α √
3
3 だから, α = −
.
1 =
2
2
√
1
+ α2
| − 12 + αi|
1 z − 1 |z − 1|
4
(2) 1 − = = 1
=√
= 1 なので, 1/z と 1 の
=
z
z |z|
| 2 + αi|
1
+ α2
4
距離は α によらずに 1 である.
[6] (1) ヒント: 複素数 z1 と z2 (例えば, z1 = a − c, z2 = b − c) に対応するベクトルが
平行であるのは, z1 : z2 が実数であることと同値である. 直線が原点を通らない場
合もあることに注意.
(2) ヒント: 円周角を用いればよい. 円が原点を中心としない場合もあることに注意.

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