Note 1) 複素数

物質情報学 5（量子力学），担当谷村省吾，講義ノート 1
複素数
複素数は量子力学にとって最も基本的な道という記号を定めれば，x2 = −1 の根は x = ±i
具・言葉である．複素数は抽象的な記号だが，である．i は虚数単位 (imaginary unit) と呼ば
複素平面という視覚的イメージを持つと理解しれ，i2 = −1 という式で特徴付けられる記号
やすくなるし，たいして難しいものではない．である．虚数を使えば，例えば
ただし，実際に自分で手を動かして計算したり
絵を描いたりしないと，扱えるようにならない
x2 = −4
(6)
√
x2 = ± −4 = ±2i
(7)
し，本当には複素数を理解しないままでいるこ
とになる．面倒くさがらずに計算練習をやっての根は
ほしい．こういうことをしつこく言っても，試
験になると複素数の計算がまったくできない学
と書ける．
生がいる．複素数の計算ができなければ量子力
学は絶対にわからないので，そのつもりで取り
組んでほしい．
複素数の定義
虚数の導入
2 つの実数 x, y に対して
実数全体の集合を R と書く．実数は加減乗
z = x + iy
除（和差積商）の四則演算ができる（0 で割る
ことだけはダメ）．実数は二乗すれば必ず正ま
(8)
と書かれる記号 z を複素数 (complex number)
たは 0 になる：
という．複素数全体の集合を C と書く．また，
∀x ∈ R,
x2 ≥ 0
(1) 複素数 z = x + iy に対し
ゆえに，二乗して負になる実数はない．例えば
2
x =2
という方程式には
√
x = ± 2 = ±1.41421356 · · ·
x = Re z,
y = Im z
(9)
(2)
と書き，x を z の実部 (real part), y を z の虚部
(imaginary part) という．
(3)
という実数根が存在するが，
x2 = −1
複素数の演算
(4)
という方程式を満たす実数 x はない．それでも
形式的に
i=
√
−1
実数 a, b, c, d に対して
z = a + ib,
(5)
1
w = c + id
(10)
代数学の基本定理
という 2 つの複素数 z, w を定めると，これら
の和差積商は
n = 1, 2, 3, · · · と任意の複素数 a1 , · · · , an に
z + w = (a + c) + i(b + d),
z − w = (a − c) + i(b − d),
zw = ac − bd + i(ad + bc),
z
ac + bd + i(−ad + bc)
=
w
c2 + d2
で定められる．
問 1. 上の式 (14) で定めた
z
w
(11) 対し方程式
(12)
z n +a1 z n−1 +a2 z n−2 +· · ·+an−1 z+an = 0 (22)
(13)
(14) にあてはまる複素数 z が必ず存在する．解は
（重根を重複度の分だけ繰り返し数えれば）n
個存在する．
に対して
z
·w = z
w
が成り立つことを確かめよ．
実数係数の代数方程式の実数解は存在する
(15) とは限らないが，複素数係数の代数方程式に
は複素数解でよければ必ず解が存在するとい
うのが上の主張である．複素数は 2 次方程式を
形式的に解くために導入されたものだが，それ
z = a + ib の虚部の符号を変えた複素数を
z¯ = z ∗ = a − ib
だけで 3 次方程式も 4 次方程式も解の存在が保
(16)
証されるのであり，代数方程式の解の存在を保
と書き，z の共役複素数 (conjugate) という．証するという目的に限れば複素数以上の拡張概
念は必要ないのである．
また，
√
|z| = |a + ib| = a2 + b2
(17)
を z の絶対値 (absolute value) という．|z| は正
複素平面
または 0 の実数である．例えば
実数 x を横軸数直線で表し，実数 y を縦軸
|4 + 3i|2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 (18) 数直線で表せば，複素数 z = x + iy は xy 平
√
(19) 面上の点で表される．このような平面を複素
|4 + 3i| = 25 = 5
(4 + 3i)2 = (4 + 3i)(4 + 3i)
平面 (complex plane) といい，x 軸を実軸 (real
axis), y 軸を虚軸 (imaginary axis) という．
= 42 + 2 × 4 × 3i + (3i)2
このとき点 z と原点 0 との距離は絶対値
= 16 + 24i − 9
= 7 + 24i
|(4 + 3i) | = |7 + 24i|
√
= 72 + 242
√
= 49 + 576
√
= 625 = 25
|z| =
(20)
√
x2 + y 2
(23)
2
に等しい．また，原点 0 から点 z を通る半直
線と x 軸のプラス側半直線とがなす角を z の
偏角 (argument) あるいは位相 (phase) という．
(21) 偏角をラジアン単位で測った大きさを arg z と
書く．arg z = θ とおけば
それぞれ何を計算しているのかよく見てほし
い．絶対値は必ず非負の実数になる．絶対値の
計算結果に虚数 i が現れることはあり得ない．
絶対値が負の数になることもない．
z = |z| (cos θ + i sin θ)
(24)
が成り立つ．これを複素数の極表示ともいう．
2
指数関数
つまり，関数 e(x) は x で微分しても定数倍に
なるだけである．とくに c = 1 と選んで，微分
正の実数 a を底とする指数関数は，掛け算の
方程式の初期値問題
繰り返しで定義されていた：
de
= e(x),
dx
an = a × a × · · · × a (n 個の a の積) (25)
この定義から，指数法則と呼ばれる性質
am+n = am · an
e(0) = 1
(31)
の解
(26)
∞
∑
1 n
x
e(x) =
n!
n=0
が成り立つことが証明できる．
指数関数の素朴な定義式 (25) によって，ax
1
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · (32)
2
3!
は，x が自然数のときに定義されているが，変
数 x の値が 0 や負の整数や分数や無理数や複素を自然な指数関数 e(x) = ex と呼ぶ．この形式
数の場合でも ax が指数法則を満たすことを要なら x にどんな実数でも，複素数でも，じつは
請して，ax の定義域を拡張することができる．どんな正方行列でも代入することができる．
つまり，指数関数 e(x) は形式的に
e(x + y) = e(x) · e(y)
(27)
複素数の指数関数
を満たすものとする．この定義から，
e(x) = e(x + 0) = e(x) · e(0)
複素数 z の指数関数 (exponential function)
(28)
は
なので，e(x) ̸= 0 であれば
e(0) = 1
(29)
ez =
がわかる．じつは，もしも e(b) = 0 となるよ
∞
∑
1 n
z
n!
n=0
1
1
= 1 + z + z2 + z3 + · · ·
2
3!
うな b があれば，任意の x について
e(x) = e(x − b + b) = e(x − b) · e(b) = 0
(33)
で定義される．当たり前ではないことだが，任
が言えてしまうので，e(x) は恒等的にゼロに意の複素数 z に対して，この無限級数は収束す
z
なってしまう．これでは面白い関数とは言えなる．e = exp z とも書く．明らかに
いので，e(b) = 0 となるような b は存在しない
e0 = 1
ことを要請する．
また，指数関数 e(x) の性質を知るために，そ
である．複素数 α と実数 t に関して
の微分を調べる：
de
e(x + h) − e(x)
= lim
h→0
dx
h
e(x) · e(h) − e(x)
= lim
h→0
h }
{
e(h) − 1
=
lim
· e(x)
h→0
h
= c · e(x)
(34)
d αt
e = α eαt
dt
(35)
が成り立つ．また，任意の複素数 z, w に対して
(30)
3
(exp z)∗ = exp(z ∗ )
(36)
ez+w = ez · ew
(37)
1
3 + 4i
が成り立つ．実数 θ に対して
2
iθ e = eiθ (eiθ )∗ = eiθ e−iθ
= e
iθ−iθ
0
=e =1
が成り立つので，
iθ e = 1
(38)
2 + 5i
3 + 4i
(39)
√
である．
また，
iθ
e = cos θ + i sin θ
−iθ
e
1 3 + 4i
= cos θ − i sin θ
(40)
(41)
あるいは
1
cos θ = (eiθ + e−iθ )
2
1
sin θ = (eiθ − e−iθ )
2i
z = |z| e
(56)
(57)
i
√
√
1+i 3
(59)
eiπ/4
(60)
ei3π/4
(61)
eiπ/6
(62)
e−iπ/3
(63)
(58)
問 3. 任意の複素数について以下の関係式が
(42)
成り立つことを証明せよ：
1
Re z = (z + z ∗ )
2
を三角関数 cos, sin の定義式とする．(40) を使
1
Im z = (z − z ∗ )
2i
うと，複素数の極表示 (24) は
(z + w)∗ = z ∗ + w∗
iθ
(55)
(43)
(44)
とも書ける．
問 2. 以下の計算をせよ（計算結果を実数 a, b
(64)
(65)
(66)
(z − w)∗ = z ∗ − w∗
(67)
(zw)∗ = z ∗ w∗
( z )∗
z∗
= ∗
w
w
(68)
(69)
|z|2 = zz ∗
(70)
∗
1
z
=
(71)
z
|z|2
|zw| = |z| |w|
(72)
z |z|
(73)
=
w
|w|
arg(zw) = arg z + arg w
(74)
(z )
arg
= arg z − arg w
(75)
w
問 4. 任意の複素数について以下の関係式が
によって a + ib の形に書け）．
(−2 + 3i) + (6 + 5i)
(45)
(−2 + 3i) − (6 + 5i)
(46)
(−2 + 3i) × (6 + 5i)
(47)
4i × (−2 + 3i)
(48)
(3 + 4i)2
(49)
(3 + 4i)3
(50)
(3 + 4i)∗
(51) 成り立つことを示せ．また，等号が成り立つよ
(3 + 4i)∗ × (5 + 2i)
(52) うな z や w の必要十分条件を示せ．
|3 + 4i|2
(53)
|z + w| ≤ |z| + |w|,
(76)
|3 + 4i|
(54)
|z − w| ≥ |z| − |w|
(77)
4
問 5. 以下のおのおのの関係式を満たす複素
問 9. cos, sin の定義式 (42), (43) から
数 z, w の例を挙げよ．
d
cos θ = − sin θ
dθ
d
sin θ = cos θ
dθ
|z + w|2 > |z|2 + |w|2
(78)
|z + w|2 = |z|2 + |w|2
(79)
|z + w|2 < |z|2 + |w|2
(80) を示せ．
(82)
(83)
問 10. α, β を任意の実数とする．指数関数
問 6. 次の命題を証明せよ．
「複素数 z, w に
おいて，zw = 0 ならば z = 0 または w = 0 でと三角関数を結びつける式 (40) と指数法則
ある．
」
ei(α+β) = eiα eiβ
問 7. 次の命題を証明せよ．
「複素数 z におい
(84)
て，z = 0 ならば |z| = 0 である．また，|z| = 0 から三角関数の加法定理
ならば z = 0 である．
」
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (85)
問 8. α を任意の複素数，t を実数変数として
d αt
e = α eαt
dt
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (86)
(81)
が成り立つことを証明せよ．
を導け．
5

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