HW(6)

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1 確率，正規分布 — HW (6)
1. つぼの中に赤球が 30 個，白球が 70 個入っている．以下の問の答えは式だけでよい．
(1-1) 40 個をひとつずつ元に戻しながら取りだしたとき（復元抽出），赤が 10 個含まれる確率はいく
らか．
(1-2) 40 個をまとめて取りだしたとき（非復元抽出），赤が 10 個含まれる確率はいくらか．
(1-3) 順番にひとつづつ順番に取りだしたとき（非復元抽出），50 回目に最後の赤が出る確率はいく
らか．
2. ある地域に特有の花の種類は A, B ふたつの型を持っており，その割合はそれぞれ 30%, 70%と
なっている．この花は 2 種類の遺伝子 D1 , D2 のいずれかを持っていて，型 A, B では，遺伝子
D1 , D2 は，それぞれ次の比率で発生する．
A： (0.4, 0.6)， B： (0.7, 0.3)
(2-1) A 型の花を n = 10 個検査して，D1 , D2 の数が D = (4, 6) となる確率 Pr(D | A) を求めよ．同
様に B 型について D = (4, 6) となる確率 Pr(D | B) を求めよ（いずれも式のみ）．
(2-2) 小地域の群はすべて A 型またはすべて B 型となることが知られている．今，ある小地域で採取
した 10 個の花を検査したところ，D1 , D2 の個数が (8, 2) となった．このとき，この花が A 型
である確率 Pr(A | D) を求めよ．
3. 正規分布 x ∼ N (µ, σ 2 ) の確率．
(3-1) x が，区間 µ ± σ, µ ± 2σ, µ ± 3σ に入る確率は，それぞれ何%か．
µ ± σ：
(%), µ ± 2σ ：
(%), µ ± 3σ ：
(%)
(3-2) ある試験の成績 x は平均 500 点，標準偏差 100 点の正規分布で近似される： x ∼ N (500, 1002 )．
この試験で 400 点以上を取る受験者の比率を求めよ．
1
2 正規分布，推定と検定 — HW (6)
1. ある生物の体重 (x) の分布は正のゆがみを持ち，平均 µ = 10 kg，標準偏差 σ = 2 kg である．
(1-1) 各個体については，Pr{x > µ} = 0.5 とは言えない．その理由を記せ．
(1-2) 無作為に抽出された n = 25 個体の平均が 10.4kg を超える確率 Pr{x̄ > 10.4} の近似値を求
めよ．
2. 大きさ N = 100 万人の母集団から n 人を復元抽出によって抽出し，ある意見に賛成する割合を調
査する．x 人が賛成と回答するとき，標本比率 θ̂ = x/n を用いて母集団比率 θ を推定したい．
(2-1) x は二項分布にしたがう確率変数である．その期待値と分散を記せ．
σ 2 = var (x) =
µ = E(x) =
(2-2) 二項分布で n が大きいから中心極限定理によって x ∼ N (µ, σ 2 ) で近似されることを用いて，
n = 2500 人，x = 1500 人のとき，母集団比率 θ の信頼係数 95%の信頼区間を導け．
3. ある教育方法を比較するために生徒を無作為に n1 人, n2 人の二つの組に分け，1 学期間教えた後
で共通試験を実施した結果，各組の平均点は x̄1 , x̄2 となった．x1 ∼ N (µ1 , σ 2 ), x2 ∼ N (µ2 , σ 2 )
と仮定して，平均の差 (δ = µ1 − µ2 ) に関する信頼区間を構成したい．
(3-1) d = x̄1 − x̄2 の期待値と分散を求め，d が従う確率分布の名称を記せ．
E(d) =
，var (d) =
，名称：
分布
. 6.322 ，x̄ = 65.0, x̄ = 70.0 のとき，δ の信頼係数 95% の信頼区間
(3-2) n1 = n2 = 20, σ 2 = 40 =
.
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2
を導け．
4. 調査における「標本誤差」および「非標本誤差」について論評せよ．以下のふたつはある問題に
関する成人の意見を知るための調査であり，同じ期間かつ質問項目は同一とする．
(4-1) 調査期間中の平日に，電話帳から無作為に抽出した番号に，午前 10 時から午後 6 時の間に電話
をかけて調査を行ったところ，n = 4000 人の回答が集まり，そのうちの 6 割が賛成であった．
(4-2) 調査対象者を対象地域の住民基本台帳から成人人口に比例させて抽出した．無作為に抽出した
n = 4000 人の成人に対して郵送調査で実施したところ，回答を得られたのは 1200 人，そのう
ちの 6 割が賛成であった．
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