三角関数の相互関係 ⑴

数学Ⅱ
ラジオ
学習メモ
第 39 回
第 3 章　三角関数　［三角関数］
三角関数の相互関係 ⑴
講師
水谷信也
三角関数の相互関係
一般角θの sin θ，cos θ，tan θの間に成
り立つ相互関係とは何かについて学びます。そ
れぞれの値の間にどのような関係があるのかに
ついて調べてみましょう。
学習のポイント
① 単位円とは何か
② 単位円と動径による三角関数の定義
③ 三角関数の相互関係
単位円とは何か
y
1
原点を中心とする半径１の円を単位円という。
y
・中心が原点O (0，0)
・Pは，単位円の周上を回転
・動径はOP
−1
P（x，y）
1
θ
O
1
x
x
・OP＝1
−1
▼
単位円と動径によるサイン・コサインの定義
角θの動径と単位円との交点を P(x，y) とすると，
OP ＝ 1 より，
sinθ＝
y
r
＝
y
1
＝ y，cosθ＝
x
r
＝
x
1
＝ x となる。
よって，x ＝ cosθ，y ＝ sinθ
三角関数の相互関係
tanθ＝
y
x
より，
y
1
s i nθ
tanθ＝
cosθ
sinθ
また，点 P の座標 (x，y) は，(cosθ，sinθ ) である。
−1
さらに，点Pが単位円の周上にあることから
O
P（cosθ，sinθ）
1
θ
cosθ
1
x
x2 ＋ y2 ＝ 1
(cosθ)2 ＋ (sinθ)2 ＝ 1
−1
よって，
sin2θ＋ cos2θ＝ 1
このように，一般角の三角関数についても，数学Ⅰで
学んだ三角比と同様に，次の公式が成り立つ。
− 89 −
原点を中心とする半径 1 の円の方程式は
x 2 ＋ y2 ＝ 1
高校講座・学習メモ
数学Ⅱ
39 三角関数の相互関係 ⑴
【三角関数の相互関係】
(1) sin2θ＋ cos2θ＝ 1 (2) tanθ＝
例
θが第 3 現象の角で，cosθ＝−
sinθ
cosθ
3
のとき，sinθ，tanθの値を求めなさい。
5
解答
sin2θ＋cos2θ＝1より
sin2θ＝1−cos2θ
3
5
( )
＝1− −
2
16
25
＝
θが第3象限の角であるから，sinθ＜0
▼
y
したがって，
sinθ＝−
sinθの符号
16
25
＋
O
−
4
＝−
5
＋
−
x
s i nθ
tanθ＝
cosθ
4
3
÷−
5
5
( )( )
( )( )
＝ −
＝ −
＝
4
5
×−
5
3
4
3
− 90 −
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