基礎考究1 演習問題 (面積分とガウス・ストークスの定理)

基礎考究１演習問題 (面積分とガウス・ストークスの定理)
3.1 V ⊂ R3 を R3 内の（C ∞ 級の）曲面 S によって囲まれる領域とする。S には V
定める。V の体積を vol(V ) =
∫
V
の境界としての向きを
1 dxdydz とする。このとき、
∫
x dy ∧ dz = vol(V )
S
となることを示せ。
3.2 V ⊂ R3 を R3 内の（C ∞ 級の）曲面 S によって囲まれる領域とする。S には V
定める。f, g : V → R を V 上の C
∞
級実数値関数とするとき、
∫
∫
(g∆f − f ∆g)dxdydz =
V
を示せ。(ここで、∆ =
d2
dx2
+
の境界としての向きを
(g gradf − f gradg) · n
S
d2
dy 2
+
d2
dz 2
はラプラシアン、n は S の正の単位法線ベクトル場を表すものとす
る)。
3.3
球面の一部である曲面 S を S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0} により定める。S には球
面 {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} の標準的な向き (領域 {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} の境界とし
て定まる向き) と一致するように向きを定める。R3 上のベクトル場 X(x, y, z) = (x, −y, z) について面積分
∫
S
X · n を求めよ。
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[期末試験について]
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講義最終日、７月２８日（木）３限に期末試験を行います。
ノート・教科書・参考書等の持ち込みは不可とします。
試験の範囲は講義の第三章までの
• ベクトル場とその演算 (grad,div,rot)
• 線積分とグリーンの定理
• 面積分とガウス・ストークスの定理
とします。（曲線・曲面の曲率などは範囲外とします）。
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