指数関数中学校において、 x × x を x2 で表現するということを習ったと思う．同じ規則によって x × x × x を x3 , x × x × x × x × x を x5 というように n 個の x を掛けたものを xn と表す．ここで、x3 と x5 を掛けるとどうなるであろう？実際に計算してみると (x × x × x) × (x × x × x × x × x) = x8 (= x3+5 ) となる．つまり、かけ算を行った場合には右肩にある数字を足せばよいことが分かる．では次のようなものを考えてみよう． x1/2 × x1/2 = x1/2+1/2 = x √ √ 上式は x1/2 を２つ掛けて x にしている．つまり x1/2 は x の平方根である．平方根には x, − x √ √ があるが、x1/2 = x と定める．一般的に xm/n は n 乗して xm になる数 n xm を表す．では x5 を x3 で割るとどうであろう？ x5 ÷ x3 = x×x×x×x×x = x2 (= x5−3 ) x×x×x となり、今度は右肩にある数字を引けばよいことが分かる．このことから、x3 を x5 で割るとその答えは x3−5 = x−2 になるが x の（−２）乗とは何であろう？具体的に計算を行うと x3 ÷ x5 = x×x×x 1 = 2 x×x×x×x×x x となり、x の（−２）乗というのは 1/x2 であることが分かる．特別な場合として x0 がある．これは x3 ÷ x3 = x3−3 と同じことなので１になる．２の０乗も５の０乗も１になり、掛ける数には関係なく０乗は常に１になる．指数法則べき乗を上のように定めると任意の定数 a, b に対して指数法則と呼ばれる次の関係が成り立つ (ただし、x, y は正数とする)． 1. xa xb = xa+b 2. (xa )b = xab 3. (xy)a = xa y a ( )a x xa 4. = a y y a を 1 と異なる正の定数とするとき y = ax で表される関数を、a を底とする x の指数関数という．指数関数 y = ax のグラフは a > 1 のとき右上がりの曲線、0 < a < 1 のとき左上がりの曲線になる (図 1.1 参照)． 1