§7.8 関数のグラフの座標軸及び原点に関する対称移動 y xy 座標平面において，関数 y = f (x) の グ ラ フ と 関 数 y = −f (x) を 考 え ま す． y = f (x) のグラフ (u , v) y = −f (x) の グ ラ フ は y = f (x) のグラフに属す各点 (u , v) に対 0 x する点 (u , −v) の全体です． 点 (u , −v) は (u , −v) 点 (u , v) と x 軸 に 関 し て 対 称 で す か ら ， y = −f (x) y = −f (x) のグラフは y = f (x) のグラフ と x 軸に関して対称です． xy 座標平面において，関数 y = f (x) の グ ラ フ と 関 数 y = f (−x) を 考 え ま す． y = f (−x) y = f (x) y のグラフ (−u , v) y = f (−x) の グ ラ フ は (u , v) y = f (x) のグラフに属す各点 (u , v) に対 する点 (−u , v) の全体です． 点 (−u , v) は 0 点 (u , v) と y 軸 に 関 し て 対 称 で す か ら ， x y = f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフ と y 軸に関して対称です． xy 座標平面において，関数 y = f (x) y のグラフと関数 y = −f (−x) のグラフ を考えます． y = −f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフに属す各点 (u , v) (u , v) y = −f (−x) 0 に対する点 (−u , −v) の全体です． 点 x (−u , −v) は点 (u , v) と原点に関して 対称ですから， y = −f (−x) のグラフ y = f (x) (−u , −v) は y = f (x) のグラフと原点に関して 対称です． 定理 7.8.1 関数 f について以下のことが成り立つ． (1) xy 座標平面において， y = f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフと y 軸に関し て対称である． (2) xy 座標平面において， y = −f (x) のグラフは y = f (x) のグラフと x 軸に関し て対称である． (3) xy 座標平面において， y = −f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフと原点に関 して対称である． (even function) であるとは， 関数 f が f の定義域の任意の点 x について f (−x) = f (x) となることです． また，関数 f が (odd function) であるとは， f の定義域の任意の点 x について f (−x) = −f (x) となることです． 例 実数全体を定義域とする関数 x2 を f とおきます： f (x) = x2 ． 任意の実数 x について f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) . 従って，関数 f つまり関数 x2 は偶関数です． この他，関数 x4 , 関数 x6 , 関数 x8 なども偶関数です． 例 終 実数全体を定義域とする関数 x3 を g とおきます： g(x) = x3 ． 任意の実数 x について， g(−x) = (−x)3 = −x · (−x)2 = −x · x2 = −x3 = −g(x) . 従って，関数 g つまり関数 x3 は奇関数です． この他，関数 x5 , 関数 x7 , 関数 x9 なども奇関数です． 終 偶関数・奇関数のグラフは例えば次のようになります． y y u −u 0 −u u 0 x x 偶関数のグラフの例 奇関数のグラフの例 次の定理が成り立ちます． 定理 7.8.2 xy 座標平面において，偶関数のグラフは y 軸に関して対称であり，奇関 数のグラフは原点に関して対称である． 証明 関 数 f が 偶 関 数 で あ る と 仮 定 す る： f の 定 義 域 の 任 意 の 点 x に つ い て f (−x) = f (x) ． xy 座標平面において， y = f (x) のグラフと y = f (−x) のグラフ とは一致する． 定理 7.8.1 より， y = f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフと y 軸に 関して対称なので， y = f (x) のグラフは y 軸に関して対称である． 関 数 f が 偶 関 数 で あ る と 仮 定 す る： f の 定 義 域 の 任 意 の 点 x に つ い て f (−x) = −f (x) よって f (x) = −f (−x) ． xy 座標平面において， y = f (x) のグラ フと y = −f (−x) のグラフとは一致する． 定理 7.8.1 より， y = −f (−x) のグラフは y = f (x) のグラフと原点に関して対称なので， y = f (x) のグラフは原点に関して対 称である． （証明終り）
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