補足プリント6：指数関数

補足プリント６：指数関数
松井宗也南山大学経営学部
平成 27 年 5 月 10 日
今回の内容は「微分積分学（理工系の数学入門コース）」(和達三樹、岩波書店) を参考にした。
1
指数関数
a をある定数として
y = ax
を指数関数 (exponential function) という。特に重要なのは極限
(
)
1 n
lim 1 +
= e = 2.7182818 · · ·
n→∞
n
で定義される定数 e の指数関数 ex である。ここで limn→∞ は n が ∞ に近づくときの極限という意
味である。ネイピア数 (Napier’s constant）と呼ばれる。自然対数 log の底である。ex は定義域が
−∞ < x < ∞ で定義された単調増加関数（だんだん増えていく関数）となる。
10
5
0
y
15
20
y=exp(x)
−2
−1
0
1
2
x
図 1: 指数関数 y = ex のグラフ
1
3
指数関数の基本的性質
a, b は定数とする。
(1) ax ay = ax+y
(2) (ax )y = axy
ax
(3) y = ax−y
a
( a )x ax
(4)
= x
b
b
対数関数の基本的性質
指数関数の逆関数を対数関数 (logarithmic funciton) という。すなわち、ay = x のとき、「y は
a を底とする x の対数」といい、y = loga x で表す。特に、a = 10 を底とする対数を常用対数、
a = e を底とする対数を自然対数という。関数電卓では ln x と表記されることもあるので注意が
必要である。
(1) loga xy = loga x + loga y
x
(2) loga = loga x − loga y
y
(3) loga xy = y loga x
loga x
(4) logb x =
loga b
指数関数：発展的知識
2
指数関数 e の表現
ネイピア数には以下の表現がある。
ex = lim
n→∞
(
x2 x3
xk
x )n ∑ xn
=1+x+
+
+ ··· +
+ ···
=
n
n!
2!
3!
k!
∞
1+
n=0
証明はやや技術的なので省略します。証明自体は特に必要な知識ではありません。
2

Download Report