配布プリント

指数法則Ⅱ（累乗根）
n個
実数aに対し累乗を次式で定める：an＝a×a×…×a （n=1,2,…）
累乗（基本）先週の復習
では、本日のお題です。累乗根とは？
２２＝４
（－２）２＝４
２３＝８
累乗根
ｎが正の整数の時、以下の式を満たすｘをａのｎ乗根といいます。
ｘｎ＝ａ
（ｎ乗してａとなる数ｘの事です・）
ａ＞０の時、ｘｎ＝ａは必ず解を持ちます。証明は、web版の教科書を参照して下さい
(^^)
注意： 2 a は単にａと書きます。
累乗根の性質
ａ＞０、ｎが正の整数の時
指数法則（基本）先週の復習
(i)ａ・ａ＝ａ
ｍ
ｎ
ｍ＋ｎ
実数 a,b と正の整数 n,m=1,2, …に対し次式が成立する：
（ａｍ÷ａｎ＝ａｍ－ｎ）
(ii)（ａｍ）ｎ＝ａｍｎ
(iii)（ａ・ｂ）ｎ＝ａｎ・ｂｎ
この指数法則（基本）は、一般的な法則は以下のものです：
指数法則（一般）
実数a＞０,b＞０と
(i)ａ・ａ＝ａ
ｍ
ｎ
ｍ＋ｎ
n,m に対し次式が成立する：
実数
ｍ
ｎ
（ａ ÷ａ＝ａｍ－ｎ）
指数法則（基本）と比べて下さい。
(ii)（ａｍ）ｎ＝ａｍｎ
部分に注目！
(iii)（ａ・ｂ）ｎ＝ａｎ・ｂｎ
分数乗の約束
ａ＞０で、ｍが整数、ｎが正の整数に対し：
注意！
a－ｎ＝
1
an
と混同しない！
1
ヒント：
次の値をｘの形で表しなさい。
3
（１） x
2
5
（２） x
1
（３）
3
x
xm =
1
＝ｘ－ｓ
s
x
ｒ
例題１
n
1
（４）
2
4
x3
（５）ｘ x
例題２
（追加ヒント：指数法則(ii)（ａｍ）ｎ＝ａｍｎ）
次の値を求めなさい。
2
1
（１）８ 3
（２）16 4
1
（４）125
（３）36 2
−2
3
−1
（５）64 12
微分（前期分復習）
関数ｙ＝f(x)に対し、次の式で表される値を関数 f(x)の導関数といい、f ’(x)と表します：
f ′( x) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
h
導関数を求めることを微分するといい、導関数をもつ関数を微分可能関数といいます。
では特に、f(x)=ｘｎの時の微分は？
―――――
f ’(x)=（ｘｎ）’＝ｎｘｎ－１（但し、n=1,2,…）
ではｎが実数の場合、ｘｎの時の微分（ｘｎ）’は？
――――――――
（ｘｎ）’＝
（但し、ｎは実数）
ｎが有理数の時の証明は、web 版の教科書を参照して下さい (^^)
2
例題３
次の関数を微分しなさい。
（ヒント：問題(1)～(5)は例題１にてy=ｘｒの形で表しました。これを利用しましょう！）
3
（１）ｙ＝ x
微分の手順
2
手順１．ｙ＝ｘｒの形にする
手順２．微分公式を使う：
（ｘｎ）’＝ｎｘｎ－１
手順３．できるだけ綺麗な形にする
（分数乗、マイナス乗でない形が望ましい）
5
（２）ｙ＝ x
要は、コレを使いましょう
x
1
（３）ｙ＝
3
x
4
（６）ｙ＝
（５）ｙ＝ｘ x
3
= n x m 、ｘ－ｓ＝
1
（４）ｙ＝
2
m
n
1
x
x3
(^^)：
1
xs
経営経済の基礎数学 II １０月２１日
学籍番号
この最後のプリントのみ講義終了後回収します
名前
演習プリントは、次回以降の演習時間内に返却します。返却時に他人の目に触れる可能性があり、個人情
報の保護に危惧があると考える人は「希望するが後日」もしくは「希望しない」を明示して下さい。
いずれにも○がないプリントは返却します。「返却を（１）希望（２）希望するが後日（３）希望しない」
問題１
次の値を求めなさい。
2
1
（１）27 3
（２）64 6
（３）64
問題２
−3
2
4
1
（４）4 3 ×4 6
次の関数を微分しなさい。
（１）ｙ＝
1
x2
4
（３）ｙ＝ x
（２）ｙ＝
3
1
x5
5
（４）ｙ＝ x
（５）ｙ＝ｘ 3 x
2
1
（６）ｙ＝
5
x4
講義に対する批判、改善点、ご意見等あれば書いて下さい。目にとまった記述は次回以降の講義で紹介す
る事もあります。（成績評価の加点の材料にはしますが、減点の材料にはしませんのでご安心下さい。）
4

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