(1) EF = EC を示せ．

1
鋭角三角形 4ABC において，頂点 A，B，C から各対辺に垂線 AD，BE，CF を下ろす．これ
4
らの垂線は垂心 H で交わる．このとき，以下の問いに答えよ．
下の図の 4ABC において，BP : PC = 8 : 5，AQ : QC = 5 : 3，AP と BQ との交点を S，CS
の延長と AB との交点を R とする．次の問いに答えよ．
(1) 四角形 BCEF と AFHE が円に内接することを示せ．
(2) ÎADE = ÎADF であることを示せ．
（東北大学 2016 ）
2
空間内に，直線 ` で交わる 2 平面 ®; ¯ と交線 ` 上の 1 点 O がある．さらに，平面 ® 上の直線
m と平面 ¯ 上の直線 n を，どちらも点 O を通り ` に垂直にとる．m; n 上にそれぞれ点 P，Q
(1) AR : RB =
があり，
OP =
B
3;
OQ = 2;
PQ = 1
p
であるとする．線分 PQ 上の動点 T について，PT = t とおく．点 T を中心とした半径 2 の球
23
．
(2) BS : SQ =
24
．
(3) CS : SR =
25
．
(4) 4ASC : 4BSC =
S を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
26
．
（広島女学院大学 2016 ）
(1) S の平面 ® による切り口の面積を t を用いて表せ．
(2) S の平面 ® による切り口の面積と S の平面 ¯ による切り口の面積の和を f(t) とおく．T が線
分 PQ 上を動くとき，f(t) の最大値と，そのときの t の値を求めよ．
（東北大学 2016 ）
5
3
1 辺の長さ 1 の正三角形 ABC において，BC を 1 : 2 に内分する点を D，CA を 1 : 2 に内分す
4ABC において，ÎC = 90± ，AB : AC = 5 : 4 とする．辺 BC の点 C 側の延長上に，CA = CD
る点を E，AB を 1 : 2 に内分する点を F とし，さらに BE と CF の交点を P，CF と AD の交点
となる点 D をとる．辺 AB の中点を E とし，点 B から直線 AD に下した垂線を BF とするとき，
を Q，AD と BE の交点を R とする．このとき，4PQR の面積を求めよ．
次の各問に答えよ．
（千葉大学 2015 ）
(1) EF = EC を示せ．
(2) 面積比 4ABC : 4CEF を求めよ．
（宮崎大学 2016 ）
6
平面上の 3 点 A，B，C が，AB = 3，AC = 4，BC = 2 を満たしているとする．また B0 は A
8
下図の 4ABC において，辺 AB の延長上に AB = BD となる点 D がある．同様に，辺 BC の
から C に向かう半直線上にあり，AB0 = 8 となる点とする．A0 は B から C に向かう半直線上
延長上に BC = CE となる点 E が，辺 CA の延長上に CA = AF となる点 F がそれぞれある．
にあり，BA0 > BC かつ ÎB0 A0 C = ÎBAC となる点とする．さらに A，B を通る直線と，A0 ，
4ABC の重心を G とし，直線 GE と線分 AC，AB，FD との交点をそれぞれ H，I，J とする．
B0 を通る直線の交点を D とする．以下の問いに答えよ．
このとき，次の比を求めよ．
(1) DB と DB0 を求めよ．
(2) cos ÎB0 A0 C の値を求めよ．また，それを用いて 4A0 B0 C の面積を求めよ．
(3) P を線分 DB0 上にあり，DP : PB0 = 1 : 3 となる点とする．また P0 を線分 AP と線分 BC と
の交点とする．4ABP0 の面積を求めよ．
(1) CH : HA
（三重大学 2015 ）
(2) BI : IA
(3) DJ : JF
（宮崎大学 2015 ）
7
四角形 ABCD がある．その内部の点を P とし，辺 AB，BC，CD，DA またはそれらの延長に
9
垂線 PE，PF，PG，PH を下ろす．点 P の位置によらず，
三角形 ABC を AB = AC かつ AB > BC である二等辺三角形とする．辺 AB 上の点 D を，三
角形 ABC と三角形 CDB が相似となるようにとる．三角形 ABC の外心を O，三角形 ADC の
PE + PG = PF + PH
外心を P とする．以下の問いに答えよ．
(1) 点 P は三角形 ADC の外部にあることを示せ．
が成り立つとき，四角形 ABCD はどのような形であるか求めよ．
（奈良県立医科大学 2015 ）
(2) 四角形 AOCP において，ÎAOC = ÎAPC であることを示せ．
(3) 三角形 CDB の外心は，三角形 ADC の外接円の周上にあることを示せ．
（奈良女子大学 2014 ）
10 一辺の長さを 1 とする立方体 ABCD-EFGH があり，辺 BF 上に点 P と辺 DH 上に点 Q を
3
となるようにとる．点 A，P，Q を含む平面と直線 CG の交点を R とする．
4
また直線 PR と辺 FG の交点を S とし，直線 QR と辺 GH の交点を T とする．このとき，以下
BP = DQ =
の問いに答えよ．
11 次の各問に答えよ．
(1) 下図のように半径 r1 の円 O1 と半径 r2 の円 O2 が外接している．円 O1 と円 O2 の接点を P と
する．円 O1 の周上に点 P と異なる点 A をとり，線分 AP の延長と円 O2 の交点を B とする．ま
た，円 O1 の周上に点 P，点 A と異なる点 C をとり，線分 CP の延長と円 O2 の交点を D とする．
このとき，次の ‘，’ に答えよ．
‘ 点 P における円 O1 の接線を利用して，AC //BD であることを示せ．
’ 円 O1 の中心と O2 の中心を結ぶ直線を利用して，点 P は線分 AB を r1 : r2 に内分すること
を示せ．
(2) 下図のように半径 3 の円 C1 ，半径 4 の円 C2 ，半径 5 の円 C3 が互いに外接している．円 C2 と
(1) 四面体 SGTR の体積を求めよ．
(2) 4PFS，4QTH，四角形 FSTH，四角形 PSTQ 及び四角形 PFHQ で囲まれた図形の体積を求
円 C3 の接点を J，円 C3 と円 C1 の接点を K，円 C1 と円 C2 の接点を L とする．線分 JL の延長
と円 C1 の交点を M とし，線分 JK の延長と円 C1 の交点を N とする．このとき，四角形 KLMN
めよ．
（群馬大学 2014 ）
の面積は 4JLK の面積の何倍であるかを求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
12 次の定理について以下の問いに答えなさい．
15 中心を点 O とする半径 1 の円に内接する正六角形 H1 があり，その頂点を反時計回りに A1 ，B1 ，
C1 ，D1 ，E1 ，F1 とする．辺 A1 B1 上に点 A2 を ÎA1 OA2 = 15± を満たすようにとり，辺 B1 C1
定理： 4ABC の辺 BC，CA，AB 上にそれぞれ点 P，Q，R があり，
上に点 B2 を ÎB1 OB2 = 15± を満たすようにとる．同様に，図のように辺 C1 D1 ，D1 E1 ，E1 F1 ，
3 直線 AP，BQ，CR が 1 点で交われば
F1 A1 上にそれぞれ点 C2 ，D2 ，E2 ，F2 をとり，点 A2 から点 F2 を頂点とする正六角形を H2 と
CQ
AR
BP
¢
¢
=1
PC QA
RB
おく．
上の操作を再び正六角形 H2 に対して行い，辺 A2 B2 ，B2 C2 ，C2 D2 ，D2 E2 ，E2 F2 ，F2 A2 上に
(1) AR : RB = 5 : 4，AQ : QC = 3 : 4 のとき BP : PC を求めなさい．
それぞれ点 A3 ，B3 ，C3 ，D3 ，E3 ，F3 をとり，これらを頂点とする正六角形を H3 とおく．同
(2) この定理を証明しなさい．
様に 3 以上の整数 n に対して，上の操作を正六角形 Hn に行うことにより得られる正六角形を
（千歳科学技術大学 2014 ）
Hn+1 とおく．以下の問に答えよ．
13 平面上で 2 つの円 S; S0 が点 P で内接している．ただし S0 が S より小さいとする．円 S; S0 の
中心をそれぞれ O，O0 とおく．円 S0 上にあって直線 PO0 上にはない点 Q をとる．直線 PQ と
円 S との P とは異なる交点を A，直線 AO と円 S との A とは異なる交点を B，直線 BO0 と円
S との B とは異なる交点を C，直線 CQ と円 S との C とは異なる交点を D とする．
(1) AO // QO0 を示せ．
(1) 辺 OA2 の長さを求めよ．
(2) DB = BP を示せ．
(2) 正六角形 H2 の面積 S2 を求めよ．
（滋賀医科大学 2013 ）
(3) 正六角形 Hn の面積 Sn を n を用いて表せ．
（岐阜大学 2013 ）
14 面積が 1 である 4ABC の辺 BC 上に点 D があり，辺 CA 上に点 E があり，辺 AB 上に点 F が
ある．正の実数 x; y; z; w を AF : FB = x : y，BD : DC = y : z，CE : EA = z : w とな
るように定める．線分 AD，BE，CF が 4ABC の内部の点 G で交わるとき，次の問に答えよ．
x y
z
¢
¢
= 1 となることを示せ．
y
z
w
(2) 4AFE の面積を x; y; z を用いて表せ．
y
x
; ¯=
とする．このとき，4DEF の面積を ®; ¯ を用いて表せ．
(3) ® =
y
z
(4) 4DEF の面積が最大となるのは，点 D，E，F が各辺の中点となるときであることを示せ．
(1) 三角形の面積の比を用いて，
（山形大学 2013 ）

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