n ¡ 1 - SUUGAKU.JP

1
5
数列 fan g を
an =
Z
n¼
0
e¡x sin x dx (n = 1; 2; 3; Ý)
3
を C1 ，曲線 y = x2 + k
x2 + 3
（ k は定数）を C2 とする．C1 と C2 のすべての共有点において
座標平面において曲線 y =
互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．
(1) 定数 k の値を求めなさい．また，C1 と C2 のすべての共有点
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
の座標を求めなさい．
(1) an+1 ¡ an を求めよ．
(2) C1 と C2 で囲まれる部分の面積 S を求めなさい．
(2) fan g の一般項を求めよ．
（首都大学東京 2015 ）
(3) lim an を求めよ．
n!1
（熊本大学 2015 ）
2
放物線 y = ax2 (a > 0) を y 軸のまわりに 1 回転させてでき
(1) 空の容器 A にコップ B 1 杯分の水を注いだら，水深が 1 と
関数 f(x); g(x) を f(x) = e¡x sin x，g(x) = e¡x cos x
Z
とおく．f(x); g(x) の不定積分を I =
f(x) dx，J =
Z
g(x) dx とおく．k を自然数とし，(k ¡ 1)¼ 5 x 5 k¼
なった．このとき，a を V を用いて表せ．ただし，回転軸は水
において，2 つの曲線 y = f(x)，y = g(x)，および 2 直線
面と垂直であるとする．
x = (k ¡ 1)¼，x = k¼ で囲まれる 2 つの部分の面積の和を
る容器 A と，容積 V のコップ B がある．このとき，次の問に
6
答えよ．
Sk とおく．次の問いに答えよ．
(2) あとコップ B 何杯分の水を容器 A に注いだら，水深が 2 とな
るか．
(1) I = J + F(x) + C1 ，J = ¡I + G(x) + C2 を満たす関数
F(x)，G(x) を求めよ．ただし，C1 ，C2 は積分定数である．
（香川大学 2015 ）
(2) I; J を求めよ．
3
a > 0 とし，I =
Z
1
0
p
a x ¡ x dx とする．
(3) Sk を求めよ．
1
P
(4)
Sk を求めよ．
k=1
p
(1) a x ¡ x = 0 を満たす x を求めよ．
（大阪市立大学 2015 ）
(2) I を a を用いて表せ．
(3) a が a > 0 の範囲を動くとき，I の最小値を求めよ．
（徳島大学 2015 ）
7
4
以下の問いに答えなさい．
g(x) = f(x) ¡
(1) 次の不定積分を求めなさい．
Z
f(x) = cos x + sin x ¡ 1 とする．g(x) は
e¡2x cos 2x dx
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1) 区間 0 5 x 5 2¼ において f(x) > 0 を満たす x の範囲を求
(2) n を正の整数とする．曲線
めよ．
y = e¡x sin x
Z 2¼
1
T
tg(t) dt ¡ 3¼l
0
4¼2
((n ¡ 1)¼ 5 x 5 n¼)
と x 軸で囲まれる部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立
(2) 不定積分
Z
(3) 定積分
Z
xf(x) dx を求めよ．
2¼
0
t f(t) dt の値を求めよ．
(4) g(x) を求めよ．
体の体積 Vn を求めなさい．
(3) (2) で求めた Vn に対して，
1
P
n=1
V2n¡1 = V1 + V3 + V5 + Ý
を求めなさい．
（首都大学東京 2015 ）
（東京農工大学 2015 ）
8
f(x) = 2xe¡x とおく．ただし，e は自然対数の底とする．以
下の各問に答えよ．
(1) 0 5 x 5 3 の範囲で，関数 y = f(x) の増減，極値，グラフ
の凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
Z1
(2) 正の実数 a に対して，Ia =
xe¡ax dx，Ja
0
Z1
x2 e¡ax dx とおく．Ja を Ia と a を用いて表せ．
0
Z1
Z1
(3) 定積分
f(x) dx および
ff(x)g2 dx を求めよ．
0
=
0
(4) 曲線 y = f(x) と，3 直線 x = 0，x = 1 および y = t で囲
まれた図形を，直線 y = t を軸として 1 回転させてできる回
転体の体積を V(t) とする．t を動かしたとき，V(t) の最小値
とそのときの t の値を求めよ．
（茨城大学 2015 ）
9
関数 f(x) = e
p
x¡1 ¡ p x
(x = 0) を考える．以下の問いに答
えよ．
(1) f(x) = 0 を示せ．また等号が成立するような x の値を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸および y 軸で囲まれた図形を x 軸のま
わりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
（三重大学 2015 ）
10 実数 x に対し
n
¡x2 + 8x ¡ 19
<
an (x) = $
x2 ¡ 6x + 5
(n = 1; 2; 3; Ý)
とおく．ただし x は 1 でも 5 でもないとする．以下の問いに答
えよ．
(1) lim an (x) が収束する x の範囲と，そのときの極限値を求
n!1
めよ．
Z3
(2)
a1 (x) dx を求めよ．
2
（三重大学 2015 ）

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