t - SUUGAKU.JP

1
¡
!
¡! ¡
!
¡!
0 < t < 1 とする．4OAB において， a = OA， b = OB とする．
¡
!
¡!
¡!
¡
!
¡!
2 ¡!
AB となる点を C とし， c = OC とする．OD = t b となる
AC =
3
¡!
¡
!
¡!
¡!
点を D，OE = (1 ¡ t) a となる点を E，AF = (1 ¡ t)AB となる点を F と
する．線分 AD と線分 OC の交点を G とする．以下の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡
!
¡!
(1) 3j a j2 + 6j b j2 ¡ 9j c j2 = 2jABj2 となることを示せ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AG を a ， b および t を用いて表せ．
S2
(3) 4OAB の面積を S1 ，4DEF の面積を S2 とする．
を t を用いて多項
S1
S2
の最小値とそのときの t の値を求めよ．
式で表し，
S1
（京都府立大学 2014 ）
¡!
¡!
t > 0 とする．平面上に 4OAB と点 P がある．P は (2¡t)PO+2(1¡t)PA+
¡
!
¡
!
¡!
3tPB = 0 を満たす．直線 OP と直線 AB の交点を C とする．jOAj = a，
¡!
jOBj = b とする．以下の問いに答えよ．
¡!
jBCj
(1) ¡! を t を用いて表せ．
jACj
2
(2) 線分 OC が ÎAOB の 2 等分線となるとき，C は辺 AB を a : b に内分する
点であることを示せ．
(3) (2) のとき，4OAB の面積を S1 ，4PAB の面積を S2 とする．
S2
を a; b
S1
を用いて表せ．
（京都府立大学 2011 ）
3
¡! ¡
! ¡! ¡
!
4OAB において OA = a ，OB = b とする．2 つの正の数 s; t に対して，
¡!
¡
!
¡
!
OC = s a + t b となるように点 C を定める．また，線分 AC および線分
BC の中点をそれぞれ M，N とし，直線 OM および直線 ON が線分 AB と
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
交わる点をそれぞれ P，Q とする．j a j = 2，j b j = 3， a ¢ b = 5 のとき，
次の問いに答えよ．
(1) 線分 AB の長さ，および 4OAB の面積 S1 を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OP を a ， b ，s，t を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) OQ を a ， b ，s，t を用いて表せ．
(4) 4OPQ の面積を S2 とする．S2 を s; t を用いて表せ．
1
S となるための s; t の条件を求め，s; t がその条件をみたしな
(5) S2 =
4 1
がら動くとき，点 C の存在する範囲を求めよ．
（同志社大学 2013 ）
4
関数 f(x) = x
B
1 ¡ x2 (¡1 5 x 5 1) について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
¡1
（琉球大学 2015 ）
5
6
f(x); g(x) を x の整式とする．これらが
Z
f(x) = 2x +
g(x) = x2
Z
Z0
3x
f(t) dt + 7;
7
0
¡1
Zx
2x3
+ 2x2 ¡ 2x + 1
(x ¡ 1)g(x) =
g(t) dt ¡
3
0
1
0
f(x) =
g(t) dt
1
0
2 次関数 f(x); g(x) は，それぞれ
f(t) dt + 2
3x2
16
Z
1
f(t) dt ¡
を満たすとする．次の問いに答えよ．
を満たすとき，
(1) f(x) を求めよ．
f(x) =
(1)
(2)
x+
(2) g(x) を求めよ．
(3)
(3) 放物線 y = f(x) の点 (4; f(4)) における接線を ` とする．直線 ` と放物
g(x) =
(4)
(5)
x2 +
(6)
x+
線 y = g(x) とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(7)
（佐賀大学 2012 ）
となる．さらに，
Z
2
¡1
Z
2
0
ff(t) + 2g(t)g dt =
f(t)g0 (t) dt =
(12)
(8)
(9)
(10)
(11)
(13)
(14)
である．
（慶應義塾大学 2012 ）
7
関数 f(x) =
log 2x
(x = 1) について，以下の問いに答えよ．
x
(1) f(x) の最大値と，そのときの x の値を求めよ．
Za
(2) (1) で求めた x の値を a とするとき，定積分
f(x) dx を求めよ．
8
k は自然数とし，数列 fan g は
a1 =
B
2;
(2an + k)an+1 = kan ¡ 2
(n = 1; 2; 3; Ý)
1
（福井大学 2007 ）
を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) a3 を k を用いて表せ．
p
2
(2) a3 = ¡
となる k を求めよ．
2
(3) (2) で求めた k について，a5 と a2012 を求めよ．
（立教大学 2012 ）
9
数列 fan g が
an =
Z
0
¼
2
cosn x dx
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定義されるとき，次の問いに答えよ．
(1) a1 ; a2 を求めよ．
n+1
a を示せ．
n+2 n
¼
(3) bn = (n + 1)an+1 an とおくとき，bn =
を示せ．
2
F
E
p
p
n¼
¼
を示し， lim nan を求めよ．
(4)
< nan <
2
n!1
2(n + 1)
(2) 部分積分法を用いて，an+2 =
（山形大学 2008 ）

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