(2 + 2i) = z +

1
直交座標の原点 O を極とし，x 軸の正の部分を始線とする極座標 (r; µ) を考える．この極座標
で表された 3 点を A #1;
¼
2¼
4¼
;，B #2;
;，C #3;
; とする．
3
3
3
4
次の各問いに答えよ．
(1) µ を媒介変数として，
(1) 点 A の直交座標を求めよ．
V
(2) ÎOAB を求めよ．
(3) 4OBC の面積を求めよ．
(4) 4ABC の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．
（徳島大学 2015 ）
x = µ ¡ sin µ
y = 1 ¡ cos µ
¼
に対応する点における接線の方程式を求めよ．
2
(2) 2 つの曲線 y = e¡x + 1，y = 3(e¡x ¡ 1) の交点の座標を求めよ．ただし，e は自然対数の底
で表される曲線の µ =
とする．
(3) (2) の 2 曲線と y 軸で囲まれた図形を D とする．D の面積を求めよ．
2 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で等式
(4) (3) で与えられた D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
z¡z
z ¡ ia =
2i
（鹿児島大学 2014 ）
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただし，i は虚数単位で，z は z と共役な複素数を
表す．
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y = f(x) の形で表せ．
(2) C 上の点 z で
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
を満たすものを求めよ．
（学習院大学 2015 ）
3
次の各問いに答えよ．ただし，i は虚数単位とする．
(1) 方程式 z4 = ¡1 を解け．
p
(2) ® を方程式 z4 = ¡1 の解の一つとする．複素数平面に点 ¯ があって z ¡ ¯ = 2 z ¡ ® を
満たす点 z 全体が原点を中心とする円 C を描くとき，複素数 ¯ を ® で表せ．
(3) 点 z が (2) の円 C 上を動くとき，点 i と z を結ぶ線分の中点 w はどのような図形を描くか．
（鹿児島大学 2015 ）
5
7
xy 平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1) 図のように x 軸の正の部分と 30± の角をなす直線上に n 個の点（ A1 ; A2 ; Ý; An ）を以下の
f0 (x) =
規則で配置する．このときの An の座標を n を用いて表せ．また n ! 1 の場合における An の
座標を求めよ．
¡¡!
（規則） jOA1 j = 2;
a; b を定数とする．関数 f(x) は 0 < x < 2 で定義され，条件
2a
+ b;
x(2 ¡ x)
f0 #
1
; = 9;
2
f0 (1) = 7;
f(1) = 1
を満たすとする．
¡¡¡!
1 ¡¡!
OA1 ;
A1 A2 =
2
¡¡¡¡!
1 ¡¡¡¡¡¡!
An¡1 An =
A A
2 n¡2 n¡1
(1) a; b の値を求めよ．
(2) 関数 f(x) を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x) の変曲点を求めよ．
（室蘭工業大学 2012 ）
(2) 今度は n 個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直
角をなす．このとき n ! 1 の場合における An の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係
は以下の規則に従うものとする．
8
関数 y = e2x ¡ 2ex の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，その
グラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．
¡¡!
（規則） jOA1 j = 2;
¡¡¡!
1 ¡¡!
j A1 A2 j =
jOA1 j;
2
¡¡¡¡!
1 ¡¡¡¡¡¡!
jAn¡1 An j =
jA A j
2 n¡2 n¡1
（会津大学 2013 ）
9
関数 f(x) = log(1 + x) について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
Z
(1) 不定積分
f(x) dx を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2012 ）
6
(2) 次の極限値を求めよ．
lim
次の問に答えよ．
n!1
(1) 関数 f(x) = xe¡2x に対し，f0 (x) と f00 (x) を求めよ．
n
P
Sn
(2) n を自然数とし，Sn =
(n + k)2 とする．Sn を n の式で表し，極限 lim 3 を求めよ．
n!1 n
k=1
Z4
1 p
p
(3) 定積分
dx の値を求めよ．
1
x(1 + x)
（東京都市大学 2015 ）
1
2
n
1
Sf # ; + f # ; + Ý + f # ;k
n
n
n
n
(3) 関数 g(x) = xf(x ¡ 1) ¡ x とするとき，g(x) の最小値を求めよ．
（岩手大学 2015 ）
10 関数
f(x) = x + sin 2x
(0 5 x 5 ¼)
に対して，曲線 C : y = f(x) を考える．以下の問いに答えよ．
¼
¼
; f # ;; における C の接線 ` の方程式を求めよ．
4
4
(2) 関数 f(x) の増減を調べ，f(x) の極値を求めよ．
(1) 曲線 C 上の点 #
(3) 曲線 C，y 軸および接線 ` で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
Z
(4) 不定積分
x sin 2x dx を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5) 曲線 C，x 軸および直線 x = ¼ で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体
積 V を求めよ．
（電気通信大学 2015 ）
11 座標平面上の点 P(1; 1) を中心とし，原点 O を通る円を C1 とする．k を正の定数として，曲線
k
(x > 0) を C2 とする．C1 と C2 は 2 点で交わるとし，その交点を Q，R とするとき，
x
直線 PQ は x 軸に平行であるとする．点 Q の x 座標を q とし，点 R の x 座標を r とする．次の
y=
問いに答えよ．
(1) k; q; r の値を求めよ．
(2) 曲線 C2 と線分 OQ，OR で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
Z qC
p
(3) x = 1 + 2 sin µ とおくことにより，定積分
2 ¡ (x ¡ 1)2 dx の値を求めよ．
r
(4) 円 C1 の原点 O を含まない弧 QR と曲線 C2 で囲まれた図形を，x 軸のまわりに 1 回転してでき
る回転体の体積 V を求めよ．
（広島大学 2015 ）

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