2p1x2 + p2x + 2p 3 = 0 ÝÝ

1
初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を
3
繰り返す．
たカードをそれぞれ k 枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から 2
枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
‘ まず同時に 2 個の玉を取り出す．
’ その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉 2 個
を袋に入れる．
“ 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ，1 回の試行を終える．
n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を Xn とする．
n を 2 以上の自然数とし，1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけ
(1) 用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも k である確率を n と k の式で表せ．
(3) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を n の式で表せ．
(4) 引いたカード 2 枚の番号が異なっている確率を pn とする．不等式 pn = 0:9
を満たす最小の自然数 n の値を求めよ．
(1) X1 = 3 となる確率を求めよ．
(2) X2 = 3 となる確率を求めよ．
(3) X2 = 3 であったとき，X1 = 3 である条件付き確率を求めよ．
4
2
n を自然数とする．A，B，C，D，E の 5 人が 1 個のボールをパスし続ける．
最初に A がボールを持っていて，A は自分以外の誰かに同じ確率でボール
サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ，p2 ，p3 とし，x の 2 次方程式
2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0
ÝÝ (¤)
を考える．
をパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールを
パスし，以後同様にパスを続ける．n 回パスしたとき，B がボールを持って
いる確率を pn とする．ここで，たとえば，A ! C ! D ! A ! E の順に
ボールをパスすれば，4 回パスしたと考える．次の問いに答えよ．
(1) p1 ; p2 ; p3 ; p4 を求めよ．
(2) pn を求めよ．
(1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ．
(2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ = 1 が成り
立つ確率を求めよ．
(3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ < 1 が成り
立つ確率を求めよ．
5
大小 2 つのさいころを投げ，大きいさいころの出た目を a，小さいさいころ
7
xy 平面上の点 P が原点 O(0; 0) から次の規則に従って動くとする．表，裏
の出た目を b とする．a; b に対し，xy 平面上の曲線 y = x3 ¡ ax を C と
がでる確率が等しい硬貨を 2 枚投げて，表が 2 枚でたら右に 1 移動し，裏が
し，C を x 軸の正の方向に b だけ平行移動した曲線を D とする．次の問い
2 枚でたら上に 1 移動し，表 1 枚裏 1 枚でたら右に 1 移動し，さらに上に 1
に答えよ．
移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表 1 枚裏 1 枚でたら点
(1) C と D が異なる 2 点で交わる確率を求めよ．
P の座標は (1; 1) で，次に表 2 枚でたら点 P の座標は (2; 1) である．この
(2) C と D が異なる 2 点で交わり，かつ，その 2 点を通る直線の傾きが正であ
とき，次の問に答えなさい．
る確率を求めよ．
(1) この試行を 3 回繰り返したとき，点 P の座標が (3; 3) である確率は
ア
である．
イ
(2) この試行を 4 回繰り返したとき，点 P の座標が (3; 3) である確率は
ウ
エオ
である．
(3) この試行を 5 回繰り返したとき，点 P の座標が (3; 3) である確率は
カキ
クケコ
6
である確率は
1 回の試行において，事象 A が起こる確率を 3 ¡ 5p とする．次の問いに答
えよ．
である．また，そのうち点 P が点 (1; 1) を通って座標が (3; 3)
サ
シスセ
である．
(4) この試行を 7 回繰り返したとき，点 P が (3; 3) を通るか，(3; 3) である
確率は
(1) p の条件を求めよ．
ソタチ
ツテトナ
である．
(2) 2 回の試行において，事象 A が 1 回だけ起こる確率 f(p) を求めよ．
(3) f(p) の最大値，およびそのときの p の値を求めよ．
8
n を自然数とする．白玉 4 個と赤玉 8 個が入っている袋から，玉を 1 個取り
出し，色を見てからもとにもどす試行を n 回繰り返すとき，白玉が偶数回出
る確率を pn とする．ただし，0 は偶数と考える．
(1) pn+1 を pn で表せ．
(2) 数列 fpn g の一般項を求めよ．
(3) 極限 lim pn を求めよ．
n!1
9
1 枚の硬貨を何回も投げ，表が 2 回続けて出たら終了する試行を行う．ちょ
うど n 回で終了する確率を Pn とするとき，次の問いに答えよ．
(1) P2 ; P3 ; P4 を求めよ．
(2) Pn+1 を Pn および Pn¡1 を用いて表せ．ただし，n = 3 とする．
Pn
(3) n = 2 のとき，
5 Pn+1 5 Pn が成り立つことを示せ．
2
10 赤，青，黄色 3 色のカードがそれぞれ 5 枚ずつあり，各色のカードに 1 から
5 までの数字が 1 つずつ書かれている．これら 15 枚のカードから無作為に 3
枚を同時に取り出すとき，以下の各問いに答えよ．
(1) 取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2) 3 枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3) 3 枚のカードのうち，青いカードが 1 枚だけとなる確率を求めよ．

Download Report