(3) j - SUUGAKU.JP

年番号
1
4
次の問いに答えよ．
数列 fan g の初項から第 n 項目までの和 Sn が Sn =
(1) 実数係数の二次方程式 x2 + 2bx + c = 0 の解を ®; ¯ とする．この方程式が異なる 2 つの実数
(1) a1 を求めなさい．
解を持たないとき，® + ¯ + ®¯ の最小値を求めよ．
p
5 2
(2)
が無理数であることを示せ．
3
(3) 動点 P が現在 x 軸上の原点にある．コイン 1 個とサイコロ 1 個を同時に投げ，コインが表であ
(2) a2 を求めなさい．
氏名
3
a ¡ n (n = 1; 2; 3; Ý) をみたす．
2 n
(3) 一般項 an を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
れば点 P はサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわら
ず負の方向に 2 だけ進む．この試行を 3 回続けて行ったとき，点 P が原点にある確率を求めよ．
（大分大学 2012 ）
2
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¼
三角形 OAB で a = OA; b = OB; j a j = j b j = 1; ÎAOB =
とする．このとき次の問
6
いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) 三角形 OAB の外接円の中心 (外心)Q の位置ベクトル OQ を a と b で表せ．
¡!
(2) 頂点 O と A からそれぞれの対辺 AB と OB に下ろした垂線の交点 (垂心) を H とするとき，OH
¡
! ¡
!
を a と b で表せ．
¡!
(3) jABj の値を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(4) 三角形 OAB の内接円の中心 (内心)P の位置ベクトル OP を a と b で表せ．
（大分大学 2012 ）
3
関数 y = f(x) = x3 ¡
5
t を実数とし，点 P の座標を (t; ¡t2 ) とする．点 P と直線 `1 : 2x + y + 3 = 0 の距離を d1 と
し，点 P と直線 `2 : 2x ¡ y + 4 = 0 の距離を d2 とする．また，d = d1 + d2 とおく．
(1) t = 2 のとき，d の値を求めなさい．
(2) 点 P が直線 `1 上またはその上側にあるための t の条件を求めなさい．
13
(3) d = p となる t の値を求めなさい．
5
（大分大学 2012 ）
6
円周上の点 A における円の接線上に点 A と異なる点 P をとる．点 P を通る直線が点 P から近い
順に 2 点 B，C で円と交わっている．ÎAPB の二等分線と線分 AB，AC との交点をそれぞれ D，
3 2
3
x +
に関して，次の問いに答えよ．
2
2
E とする．PA : PB = r : 1 ¡ r とおき，BD = s; CE = t とおく．ただし，0 < r < 1 とする．
(1) y = f(x) と y = x のグラフを描け．
3
に対して，xn+1 = f(xn ) (n = 0; 1; 2; Ý) を定義する．このとき，
(2) 1 < x0 <
2
xn > xn+1 (n = 0; 1; 2; Ý) を示せ．
(3) 数列 fan g が単調減少で，ある実数 L に対して an > L (n = 0; 1; 2; Ý) ならば lim an が存
n!1
在する．このことを用いて，数列 fxn g の極限を求めよ．
（大分大学 2012 ）
(1) 線分 AD の長さを r と s で表しなさい．
(2) PB : PC = 2 : 3 となるとき，r の値を求めなさい．
(3) (2) のとき，線分 AE の長さを t で表しなさい．
（大分大学 2012 ）
Z 3C
Z
3
B dx
とする．
x2 + 9
(1) 次の等式がすべての実数 x について成り立つように，定数 a; b の値を定めなさい．
7
I1 =
0
x2 + 9 dx; I2 =
0
10 t を実数とし，点 P の座標を (t; ¡t2 ) とする．点 P と直線 `1 : 2x + y + 3 = 0 の距離を d1 と
し，点 P と直線 `2 : 2x ¡ y + 4 = 0 の距離を d2 とする．また，d = d1 + d2 とおく．
(1) t = 2 のとき，d の値を求めなさい．
C
2
b
B x
= a x2 + 9 + B
2
2
x +9
x +9
(2) 点 P が直線 `1 上またはその上側にあるための t の条件を求めなさい．
(2) I1 において部分積分することにより，I1 を I2 で表しなさい．
B
(3) log(x + x2 + 9) の導関数を利用して，I2 を求めなさい．
p
(4) 曲線 x2 ¡ y2 = ¡9 と直線 y = 3 2 で囲まれた部分の面積 S を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
(3) d の最小値とそのときの t の値を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
11 数列 fan g の初項から第 n 項目までの和 Sn が Sn =
3
a ¡ n (n = 1; 2; 3; Ý) をみたす．
2 n
(1) a1 を求めなさい．
(2) a2 を求めなさい．
8
曲線 C : y = x2 + px + q と y 軸との交点を Q とし，x 座標 t が正である曲線 C 上の点を P と
(3) 一般項 an を求めなさい．
する．点 P における曲線 C の接線を ` とする．曲線 C，接線 ` および y 軸で囲まれた部分の面
（大分大学 2012 ）
積を S1 とし，曲線 C と直線 PQ で囲まれた部分の面積を S2 とする．
12 円周上の点 A における円の接線上に点 A と異なる点 P をとる．点 P を通る直線が点 P から近い
(1) ` の方程式を求めなさい．
(2) S1 を t で表しなさい．
順に 2 点 B，C で円と交わっている．ÎAPB の二等分線と線分 AB，AC との交点をそれぞれ D，
(3) S1 : S2 を求めなさい．
E とする．PA : PB = r : 1 ¡ r とおき，BD = s; CE = t とおく．ただし，0 < r < 1 とする．
（大分大学 2012 ）
(1) 線分 AD の長さを r と s で表しなさい．
(2) PB : PC = 2 : 3 となるとき，r の値を求めなさい．
(3) (2) のとき，線分 AE の長さを t で表しなさい．
9
t を実数とし，点 P の座標を (t; ¡t2 ) とする．点 P と直線 `1 : 2x + y + 3 = 0 の距離を d1 と
（大分大学 2012 ）
し，点 P と直線 `2 : 2x ¡ y + 4 = 0 の距離を d2 とする．また，d = d1 + d2 とおく．
13 数列 fan g の初項から第 n 項目までの和 Sn が Sn =
(1) t = 2 のとき，d の値を求めなさい．
(2) 点 P が直線 `1 上またはその上側にあるための t の条件を求めなさい．
(1) a1 を求めなさい．
(3) (2) のとき，d の最小値とそのときの t の値を求めなさい．
(2) a2 を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
3
a ¡ n (n = 1; 2; 3; Ý) をみたす．
2 n
(3) 一般項 an を求めなさい．
（大分大学 2012 ）
14 曲線 C : y = x2 + px + q と y 軸との交点を Q とし，x 座標 t が正である曲線 C 上の点を P と
する．点 P における曲線 C の接線を ` とする．曲線 C，接線 ` および y 軸で囲まれた部分の面
積を S1 とし，曲線 C と直線 PQ で囲まれた部分の面積を S2 とする．
(1) ` の方程式を求めなさい．
(2) S1 を t で表しなさい．
(3) S1 : S2 を求めなさい．
（大分大学 2012 ）

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