Document

Steinschleuder
Aufgabennummer: A_004
Technologieeinsatz:
möglich £
erforderlich S
Andy hat eine einfache Steinschleuder gebaut. Er schießt zur Überprüfung des Geräts einen
Stein vertikal nach oben. Der Stein steigt zunächst und fällt dann wegen der Erdanziehung
wieder hinab.
Die vom Stein erreichte Höhe h ist von der Zeit t abhängig. Wenn die Abschusshöhe 1,7 m
beträgt, kann die Höhe näherungsweise durch die folgende Funktion beschrieben werden:
h(t) = -5t2 + 15t + 1,7
h(t) … Höhe zum Zeitpunkt t in Metern (m)
t … Zeitpunkt nach dem Abschuss in Sekunden (s)
a)
Die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion h geben Auskunft über die
momentanen Geschwindigkeiten des Steins zu den einzelnen Zeitpunkten t.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h und die Tangente an den Graphen bei t = 2 s.
Bestimmen Sie aus der Grafik ungefähr die Steigung der Tangente.
b)
Die momentane Geschwindigkeit v berechnet man zu jedem Zeitpunkt t durch die
1. Ableitung der Funktion h. Berechnen Sie mithilfe der 1. Ableitung, mit welcher Geschwindigkeit v (in m/s) der Stein auf dem Boden auftrifft.
c)
Erklären Sie, wie man mithilfe der 1. und der 2. Ableitung der Funktion h die maximale
Höhe, die der Stein erreicht, berechnen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Steinschleuder
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Die Tangente hat an der Stelle t = 2 s die Steigung -5. (Ableseungenauigkeit ist zu tolerieren!)
b)
Der Stein trifft auf dem Boden auf, wenn h(t) = 0.
h(t) = -5t² + 15t + 1,7 = 0 → Technologieeinsatz t = 3,109… s
Die weitere Rechnung erfolgt mit dem genauen Wert: 3,109…
Erst das Endergebnis wird gerundet.
h'(t) = -10t + 15
h'(3,127…) ≈ -16,09
Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf dem Boden beträgt rund 16,09 m/s.
c)
Mit h'(t) = 0 berechnet man den Zeitpunkt, an dem ein Extremwert von h erreicht wird. Durch
Einsetzen in die Gleichung für h(t) wird dieser Extremwert berechnet. Das kann im Allgemeinen
ein Maximum oder ein Minimum sein.
Um bei einem berechneten Extremwert zwischen einem Minimum und einem Maximum zu
unterscheiden, benötigt man die 2. Ableitung. Sie beschreibt das Krümmungsverhalten der
Funktion. Bei einem lokalen Maximum liegt eine negative Krümmung vor. Wenn man daher den
Zeitpunkt, zu dem das Extremum erreicht wird, in die 2. Ableitung einsetzt, dann erhält man im
Falle eines Maximums eine negative Zahl.
(Wenn jemand mit Geschwindigkeit und Beschleunigung argumentiert, weil er Kenntnisse aus
der Physik einbringen kann, so ist das ebenfalls gültig!)
Steinschleuder
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
C Interpretieren und Dokumentieren
—
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
mittel
mittel
Thema: Physik
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Wasserstrahl
Aufgabennummer: A_006
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Ein Wasserstrahl tritt aus einem Gartenschlauch aus.
a)
Der Verlauf eines Wasserstrahls kann mit der folgenden Funktion beschrieben werden:
h(x) = -0,15x2 + 0,9x + 0,6
h(x) … Höhe des Strahls über einem Punkt am Boden in x Metern Entfernung vom Austrittsort
in Metern (m)
x … horizontale Entfernung vom Austrittsort in Metern (m)
Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung x vom Austrittsort dieser Strahl auf dem Boden auftrifft. Argumentieren Sie, ob der Strahl in größerer Entfernung x auf dem Boden auftrifft,
wenn man den Schlauch nur senkrecht nach oben verschiebt, ohne dabei die Strahlrichtung
oder den Wasserdruck zu verändern.
b)
Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m.
Ermitteln Sie jene Polynomfunktion 2. Grades, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt.
c)
Die untenstehende Grafik zeigt die Verläufe von 3 Wasserstrahlen, die unter gleichem Wasserdruck bei unterschiedlichen Austrittswinkeln entstehen. Lesen Sie die Reichweiten und maximalen Höhen für jede der dargestellten Kurven ungefähr ab. Interpretieren Sie außerdem, wie sich
die Höhe und die Reichweite des Strahls verändern, wenn der Austrittswinkel variiert.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wasserstrahl
2
Möglicher Lösungsweg
a)
h(x) = -0,15x2 + 0,9x + 0,6
Die Weite erhält man durch Berechnen der Nullstelle: h(x) = 0
Technologieeinsatz: x ≈ 6,61 m
Argumentieren:
Wenn man die Strahlrichtung oder den Wasserdruck (Geschwindigkeit) nicht verändert, so verschiebt sich die Parabel nach oben und es verändert sich der Schnitt mit der vertikalen Achse.
Dadurch verändert sich aber auch die Reichweite x, sie wird größer.
Die Diskussion kann auch anders geführt sein. Nicht zwingend in dieser Weise!
b)
h(x) = a · x2 + b · x + c
h'(x) = 2a · x + b
Punkte (0|1) und (3|2,5) in h(x) einsetzen;
Maximum bei x = 3,
h'(3) = 0 einsetzen;
Gleichungssystem: c = 1
2,5 = 9a + 3b + 1
0 = 6a + b
Gleichungssystem lösen (händisch oder mit Technologie):
a = -0,167, b = 1, c = 1
h(x) = -0,167x2 + x + 1
c)
Austrittswinkel 25°:
Der Strahl trifft bei ca. 4,6 m auf den Boden auf. Die Höhe beträgt maximal ca. 0,5 m. Die Bahn
ist flach.
Austrittswinkel 45°:
Die Reichweite ist von den drei betrachteten Fällen am größten, sie liegt bei 6 m, die maximale
Höhe beträgt ca. 1,5 m.
Austrittswinkel 65°:
Der Strahl trifft schon bei ca. 4,7 m auf den Boden auf.
Die maximale Höhe beträgt ca. 2,5 m. Die Bahn ist von den drei betrachteten Fällen am steilsten.
Zusammenfassend aus der Zeichnung erkennbar:
Bei den beiden Winkeln, die kleiner oder größer als 45° sind, wird die Reichweite geringer.
Die Höhe wird beim Vergrößern des Winkels größer, beim Verkleinern des Winkels kleiner.
Wasserstrahl
3
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
3 Funktionale Zusammenhänge
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
3 Funktionale Zusammenhänge
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
A Modellieren und Transferieren
C Interpretieren und Dokumentieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
D Argumentieren und Kommunizieren
B Operieren und Technologieeinsatz
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
mittel
leicht
Thema: Physik
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Erddamm
Aufgabennummer: A_014
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
Ein Erddamm wird auf ebenem Gelände errichtet. Die folgende Funktionsgleichung beschreibt
die Profillinie der Querschnittsfläche (siehe Skizze).
h x =
-3x²
+ 4,2 für -7 ≤ x ≤ 7
35
x … Koordinate der Querschnittsgrundlinie in Metern (m)
h(x) … Höhe in Metern (m) am Ort x
a)
Der Erddamm soll oben abgetragen werden, sodass ein horizontales Plateau mit einer
Breite von 6 m entsteht. Erstellen Sie ein möglichst genaues grafisches Modell für diesen neuen Dammquerschnitt, indem Sie das Plateau in der richtigen Höhe einzeichnen.
Geben Sie den Wert für die Höhe an.
b)
Der Damm wird auf einer Länge von 600 m im Bereich von -3,5 m ≤ x ≤ 3,5 m horizontal
abgetragen.
Berechnen Sie das abgetragene Erdvolumen in Kubikmetern (m³).
(Volumen = Querschnittsfläche des abgetragenen Teils mal Länge des Damms)
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Erddamm
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Textverständnis wird für die Zeichnung z. B. mit GeoGebra oder für eine Handzeichnung bei
Grafikrechnern benötigt.
Durch Einzeichnen des Punktes A bei x = -3 wird im Schnittpunkt eine Parallele zur x-Achse eingezeichnet. Weil die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, wird auf beiden Seiten jeweils 3 m
aufgetragen.
Der Wert für die Dammhöhe kann grafisch auf diesem Weg ermittelt werden und beträgt
rund 3,4 m.
(Die Ablesung würde genügen, daher ist eine Ableseungenauigkeit zu tolerieren.)
Falls jemand mit einer rechnerischen Methode, z. B. f(3) = 3,428…, oder mit einem anderen
grafischen Verfahren zum richtigen Ergebnis für die Dammhöhe kommt, so ist dies ebenfalls als
richtig zu werten.
b)
x1 = -3,5, x2 = -3,5, h(3,5) = 3,15
Die Querschnittsfläche wird mit Technologieeinsatz berechnet, ist aber auch händisch möglich.
3,5
A =
-3,5
h(x)dx – 3,5 ∙ 2 ∙ 3,15 = 26,95 – 22,05 = 4,9 Die Querschnittsfläche des abgetragenen Dammteils beträgt 4,9 m².
Der abgetragene Teil des Damms hat ein Volumen von 2 940 m³.
Erddamm
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
—
3 Funktionale Zusammenhänge
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
A Modellieren und Transferieren
B Operieren und Technologieeinsatz
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
D Argumentieren und Kommunizieren
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
leicht
mittel
Thema: Umwelt
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
Schispringen
Aufgabennummer: A_022
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
Die Bergisel-Schanze gilt als ein Wahrzeichen Innsbrucks.
a)
Vom östlichen Stadion-Eingang führt ein Aufzug bis zum Schanzenturm. Berechnen Sie, welche
Strecke dieser Aufzug zurücklegt, wenn er mit einer mittleren Geschwindigkeit von 7,5 Kilometern pro Stunde (km/h) die Besucher in 2 Minuten zum Turm bringt. Geben Sie Ihr Ergebnis in
Metern an.
b)
Die Flugbahn eines Springers lässt sich annähernd mit einer Funktion der folgenden Form beschreiben: f(x) = a · x² , a ∈ ℝ–
x … horizontale Entfernung vom Absprungsort in Metern (m)
f(x) … vertikale Entfernung vom Absprungsort in Metern (m) an der Stelle x
x
Ermitteln Sie den Wert von a, indem Sie die dazu nötigen Daten aus der Grafik ablesen. Interpretieren Sie, welche Auswirkungen eine Verringerung von a auf die Flugbahn hat.
c)
Das Profil des Aufsprunghangs lässt sich mit einer Polynomfunktion g beschreiben. Die für die
Sprungwertung ausschlaggebende Landezone auf dem Aufsprunghang liegt um jenen Punkt, in
dem der Hang das größte Gefälle aufweist. Erklären Sie, um welchen Punkt es sich dabei aus
Sicht der Mathematik handelt, und beschreiben Sie, ohne die Berechnung auszuführen, wie
man dessen x-Koordinate berechnet.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Schispringen
2
Möglicher Lösungsweg
a)
v = 7,5 km/h
t = 2 Minuten, in Stunden umrechnen:
1
h
t=
30
s
v = → s = v ∙ t
t
1
s = 7,5 ∙
= 0,25
30
0,25 km = 250 m
Es werden 250 m zurückgelegt.
b)
Die Funktion lautet: f(x) = a · x2
Aus dem Graphen kann zum Beispiel der Punkt (110|-70) abgelesen werden.
Damit ergibt sich folgende Gleichung:
-70 = a · 110²
a = -0,0058
Der Parameter a legt die Form der Parabel fest.
Wird a verringert, so verschmälert sich die Parabel. Entsprechend kürzer ist die Flugbahn.
c)
Das größte Gefälle des Aufsprunghangs wird im Wendepunkt der Funktion g erreicht.
Da im Wendepunkt einer Funktion die 2. Ableitung gleich null ist, erhält man den x-Wert des
Wendepunktes als Lösung der Gleichung g''(x) = 0.
Schispringen
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
1 Zahlen und Maße
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
C Interpretieren und Dokumentieren
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
leicht
mittel
mittel
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Themen: Sport, Architektur
Quellen:
http://geol43.uni-graz.at/05W/600001/skispringen.html
http://www.bergisel.info/de/besucher-information/bergisel-schanze.php
http://www.fis-ski.com/data/document/grundlagenprojektierungschanze-2005.pdf
Beleuchtungsstärke
Aufgabennummer: A_025
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Mit einem Beamer wird eine Wand beleuchtet. Die Beleuchtungsstärke B des Beamers ist indirekt proportional zum
Quadrat der Entfernung x von der beleuchteten Wand.
B … Beleuchtungsstärke, gemessen in Lux (lx)
x … Entfernung zwischen Beamer und bestrahlter Wand in Metern (m)
a)
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent man die Entfernung verändern muss, um die Beleuchtungsstärke auf
das 1,5-Fache zu erhöhen.
– Geben Sie weiters an, ob es sich um eine Erhöhung oder Verringerung der Entfernung handelt.
b)
– Geben Sie an, welcher der 3 Funktionsgraphen des untenstehenden Diagramms die Beleuchtungsstärke
in Abhängigkeit von der Entfernung darstellt.
– Begründen Sie, warum die beiden anderen Funktionsgraphen den Sachverhalt nicht richtig darstellen.
c)
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion 2 im Intervall [1; 2].
– Erklären Sie, warum bei Funktion 1 der Differenzenquotient dem Differenzialquotienten entspricht.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Beleuchtungsstärke
2
Möglicher Lösungsweg
a)
100
150
=
x2
1002
→ x 2 ≈ 6 666,67 → x ≈ 81,65 % → 100 % – 81,65 % = 18,35 %
Die Entfernung muss um 18,35 % verringert werden.
(Die Berechnung kann auch formal anders angesetzt werden.)
b)
Funktion 2 ist richtig.
Funktion 3 kann nicht richtig sein, weil mit steigender Entfernung die Beleuchtungsstärke steigt.
Funktion 1 kann auch nicht stimmen, weil es sich zwar um eine fallende Funktion handelt, allerdings ist sie linear und die Beleuchtungsstärke verhält sich indirekt proportional zum Quadrat der
Entfernung.
c)
Funktion 2
Differenzenquotient
[1; 2]
–499,5 Lux/m
Der Differenzenquotient gibt den durchschnittlichen Anstieg (die mittlere Änderungsrate) einer
Funktion in einem Intervall an, während der Differenzialquotient den Anstieg in einem bestimmten
Punkt der Funktion angibt.
Nur bei einer linearen Funktion wie Funktion 1 entspricht der durchschnittliche Anstieg auch dem
Anstieg in jedem Punkt der Funktion.
Alle anderen Erklärungen, die diesen Sachverhalt richtig zum Ausdruck bringen, sind ebenso zu
akzeptieren.
Beleuchtungsstärke
3
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
2 Algebra und Geometrie
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
A Modellieren und Transferieren
C Interpretieren und Dokumentieren
B Operieren und Technologieeinsatz
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
schwer
mittel
schwer
Thema: Physik
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Simulation eines Golfballflugs
Aufgabennummer: A_026
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
In einem Simulationsprogramm soll die Flugbahn eines in ebenem Gelände geschlagenen Golfballs dargestellt werden. Sie kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden:
h(x) = -
1
216 000
x
∙ x3 + , x ≥ 0
5
x … waagrechte Entfernung vom Abschlag in Metern (m)
h(x) … Höhe des Balls in Metern (m), wenn der Ball sich in x Metern Entfernung vom Abschlag
befindet (Annahme: Der Golfball bewegt sich in einer Ebene.)
a)
Ein 10 m hoher Baum, der genau in der Flugbahn des Golfballs steht, wird von diesem
gerade noch überflogen. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Kennzeichnen Sie
die möglichen Standorte des Baums in der Zeichnung und lesen Sie die Werte für die
Entfernung des Baums vom Abschlag ab.
b)
Der Ball fällt in einen Teich, der sich in derselben Höhe wie der Abschlag befindet. Dokumentieren Sie die erforderlichen Lösungsschritte zur Ermittlung des Winkels, unter
dem der Ball eintaucht, ohne die Berechnung auszuführen.
c)
Berechnen Sie die Koordinaten des höchsten Punkts der Flugbahn mithilfe der Differenzialrechnung.
d)
Begründen Sie, warum die gegebene Funktion höchstens einen Hochpunkt (lokales
Maximum) haben kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Simulation eines Golfballflugs
2
Möglicher Lösungsweg
a)
h in m x in m Der Baum steht in ca. 54 m oder in ca. 176 m Entfernung vom Abschlag.
(Hinweis: Eine angemessene Ungenauigkeit beim Ablesen der Werte wird toleriert.)
b)
Um den Winkel zu ermitteln, unter dem der Ball in den Teich eintaucht, sind folgende Schritte
notwendig:
1. Eintauchstelle xE ermitteln: h(xE) = 0, xE ≠ 0
2. Steigung der Funktion an der Stelle xE ermitteln: k = h'(xE)
3. Eintauchwinkel α ermitteln: tan α = k ⇒ α = arctan k
(Hinweis: Auch andere, analoge Lösungswege sind zulässig.)
c)
Ermittlung des Maximums:
h'(x) = -
x2
72 000
+
1
5
h'(x) = 0 ⇒ x = 120
h(120) = 16 ⇒ M = (120|16)
Der höchste Punkt der Flugbahn ist der Punkt M = (120|16). Der Golfball erreicht seine maximale
Flughöhe von 16 m in einer waagrechten Entfernung von 120 m vom Abschlag.
d)
h(x) ist eine Polynomfunktion 3. Grades, ihre 1. Ableitung h'(x) ist daher eine quadratische Funktion. Die Gleichung h'(x) = 0 hat höchstens 2 Lösungen, es gibt also maximal 2 lokale Extremwerte. Nur einer davon kann – da h(x) stetig ist – ein Maximum sein.
(Auch andere Argumentationen sind möglich, z. B.:
h(x) ist eine Polynomfunktion 3. Grades, mit maximal 3 Nullstellen, also höchstens einem lokalen
Maximum.)
Simulation eines Golfballflugs
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
d)
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
4 Analysis
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
d)
—
2 Algebra und Geometrie
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
d)
B Operieren und Technologieeinsatz
C Interpretieren und Dokumentieren
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
d)
—
—
—
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
d)
leicht
mittel
mittel
schwer
Thema: Sport
Quellen: —
Punkteanzahl:
a)
b)
c)
d)
2
2
2
1
Straßenbahn
Aufgabennummer: A_028
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
Die Funktion der Geschwindigkeit einer Straßenbahn verläuft zwischen den Stationen nahezu konstant.
Der Bremsvorgang vor einer Station wird behutsam eingeleitet und mit einer möglichst langsamen
Bremsung abgeschlossen.
a)
Eine Straßenbahn fährt mit einer Geschwindigkeit von
15 m/s und beginnt vor der Haltestelle zu bremsen.
Vom Bremsbeginn bis zum Stillstand lässt sich der
Geschwindigkeitsverlauf näherungsweise durch die
folgende Funktion beschreiben:
v(t) =
5
288
∙ t3 –
5
16
∙ t² + 15; 0 s ≤ t ≤ 12 s
v(t) … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t
in Metern pro Sekunde (m/s)
t … Zeit in Sekunden (s)
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Betrag der Bremsverzögerung maximal ist, und geben Sie diese Bremsverzögerung an. Erklären Sie anhand der obigen Grafik, um welchen besonderen Punkt des Funktionsgraphen es sich dabei handelt.
b)
Eine Notbremsung, die bei einer Geschwindigkeit der Straßenbahn von 15 m/s eingeleitet wird,
erfolgt mit einer konstanten Bremsverzögerung von 2,5 m/s². Erstellen Sie eine Grafik der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t, die diesen Sachverhalt darstellt. Der Bremsvorgang startet zum Zeitpunkt t = 0 s.
c)
Bei einer Notbremsung (mit konstanter Bremsverzögerung) braucht der Straßenbahnfahrer eine
gewisse Zeitspanne z, um den Bremsvorgang einzuleiten (Reaktionszeit). Wählen Sie aus den
unten dargestellten Graphen denjenigen aus, der diesen Umstand berücksichtigt, und begründen Sie Ihre Wahl.
(1)
(2)
(3)
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Straßenbahn
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Berechnung:
v(t) =
5
288
v' (t) =
v'' (t) =
t=6
5
96
5
∙ t3 – 5
16
5
∙ t² + 15
∙ t2 – ∙ t
48
8
5
∙ t – 8
v' (6) = amax = –1,88
Der Betrag der maximalen Bremsverzögerung beträgt 1,88 m/s².
Bei dem Punkt P an der Stelle t = 6 s handelt es sich um den Wendepunkt der Geschwindigkeitsfunktion.
b)
Bei konstanter Bremsverzögerung resultiert eine lineare Geschwindigkeitsfunktion mit 15 als
Startwert und –2,5 als Steigung.
c)
Der Graph (1) berücksichtigt in korrekter Weise die angeführte Reaktionszeit.
Die Funktion im Diagramm (2) ist nicht konstant, beschreibt also nicht die konstante Bremsverzögerung.
Der Graph (3) würde einen abrupten Stillstand der Straßenbahn bedeuten.
Straßenbahn
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
3 Funktionale Zusammenhänge
3 Funktionale Zusammenhänge
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
A Modellieren und Transferieren
C Interpretieren und Dokumentieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
leicht
mittel
Thema: Physik
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Hefepilze
Aufgabennummer: A_030
Technologieeinsatz:
möglich S
erforderlich £
In einer Petrischale (kreisrunde Glasschale mit ebenem Boden) wird eine Hefekultur angesetzt.
Die mit Hefepilzen bedeckte Fläche wächst abhängig von der Zeit t und lässt sich durch die
folgende Funktionsgleichung beschreiben:
A(t) = c ∙
ea · t
ea · t + 80
A(t) … Größe der mit Hefepilzen bedeckten Fläche in cm² in Abhängigkeit von der Zeit t
t … Zeit in Stunden (h)
a)
Zu Beobachtungsbeginn t = 0 h ist in der Schale eine Fläche von 1 cm² mit Hefepilzen
bedeckt. Nach 24 Stunden hat sich die bedeckte Fläche auf 9 cm² vergrößert.
Bestimmen Sie die Parameter c und a.
b)
Zeichnen Sie den Funktionsgraphen für c = 40 cm² und a = 0,1 pro h im
Intervall t = [0 h;100 h].
Interpretieren Sie anhand der Grafik die Bedeutung des Parameters c.
c)
Erklären Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung denjenigen Zeitpunkt berechnet,
zu dem die mit Hefepilzen bedeckte Fläche in der Schale am schnellsten zunimmt.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Hefepilze
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Die Gleichung A(0) = 1 wird gelöst:
1 = c ∙ ea ∙ 0
→ c = 81 cm²
ea ∙ 0 + 80
Die Zuordnung A(24) = 9 und der Wert von c = 81 werden in die Funktionsgleichung eingesetzt
und die Exponentialgleichung wird gelöst:
9 = 81 ∙ e24a
→ a = 0,096 h–1
e24a + 80
b)
A in cm²
40
30
20
10
0
25
50
75
100
t in h
Aus der Grafik liest man c = 40 cm² als diejenige Fläche ab, über die die Hefepilze nicht hinauswachsen. (c ist demnach der Grenzwert der Funktion f, wenn t gegen unendlich strebt.)
c)
Es handelt sich bei der Aufgabenstellung um die Ermittlung der maximalen Wachstumsgeschwindigkeit. Die Funktion für die Wachstumsgeschwindigkeit erhält man allgemein als Ableitung der
Funktion A.
Den Zeitpunkt der maximalen Wachstumsgeschwindigkeit kann man daher über das Nullsetzen
der 2. Ableitung von A berechnen.
Hefepilze
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
2 Algebra und Geometrie
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
C Interpretieren und Dokumentieren
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
B Operieren und Technologieeinsatz
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
leicht
mittel
Themen: Chemie, Biologie
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Pinboard
Aufgabennummer: A_037
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Es sollen Pinboards in der Form eines Fisches angefertigt werden.
1
3
2
2
y 2 (x) = x2 + ∙ x –
–1,5 ≤ x ≤ 1,5
Die Funktionsgraphen von y1 und y2 schließen die im Diagramm dargestellte Fläche ein. Die
Funktionen y1 und y2 sind symmetrisch bezüglich der x-Achse.
(Maße in dm)
Pinboard
2
a)
– Berechnen Sie den im Diagramm dargestellten Flächeninhalt des Fisches.
b)
Mit dem folgenden Gleichungssystem wird eine quadratische Funktionsgleichung
eines anderen Pinboards berechnet, deren Graph die Punkte P1 = (–1,5|0), P2 = (0|1)
und P3 = (1|0) enthält.
(1)
9
4
3
∙ b0 –
b2
=
0
b2
=
1
b2
=
0
∙ b1
=
–1
b0 +
b1
=
–1
∙ b0 –
1 ∙ b1
=
–
2
∙ b1 +
(2)
b0 +
(3)
(1)'
9
4
3
4
3
∙ b0 –
(3)'
(1)''
b1 +
(3)''
2
b0 +
7
4
b1
∙ b0
b0
2
3
=
–1
=
–
=
–
2
|
∙
}
+
3
5
3
20
21
in Gleichung (3) einsetzen:
–
20
21
+
20
1
21
21
b1 + 1
=
b1
=
0
–
1
21
b0 = – , b1 = – , b2 = 1
Die Funktionsgleichung lautet: f(x) = –
20
21
∙ x2 –
1
21
∙x+1
– Untersuchen Sie den Lösungsweg auf Umformungsfehler und erklären Sie
gegebenenfalls, worin der Umformungsfehler besteht.
c)
– Argumentieren Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion y2 nur
1 Extremwert und keinen Wendepunkt hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Pinboard
3
Möglicher Lösungsweg
a)
1
3
2
2
y 2 (x) = x 2 + · x –
A1 =
1
y (x)dx
–1,5 2
A1 = –2,6042
A2 =
1,5
y2 (x)dx
1
A2 = 0,3542
2(|A 1 | + A 2 ) = 5,9167
Die Fläche des Fisches beträgt A 5,92 dm2.
2
wurde mit dem Koeffizienten
9
falsch ausgeführt.
b)
Die Multiplikation der Gleichung (1)' mit
c)
y 2 ist eine Polynomfunktion 2. Grades. An der Stelle xS = – ist der kleinstmögliche Funktions-
3
4
1
4
25
wert, nämlich y 2 (x S ) = – . Für alle x < xS ist die Funktion streng monoton fallend und für alle
16
x > xS streng monoton steigend. Die 2. Ableitung ergibt eine konstante Funktion, nämlich
y''2 (x) = 2, daher besitzt y2 keinen Wendepunkt. Die Funktion hat daher genau den einen
lokalen Extrempunkt S = (x S |y S ).
Auch andere Argumentationen sind möglich:
Die 2. Ableitung ergibt eine konstante Funktion, nämlich y''2 (x) = 2 > 0, daher besitzt y 2 keinen
1
Wendepunkt und ist links gekrümmt. Die Nullstelle der 1. Ableitungsfunktion ergibt xS = – ,
4
deren y-Koordinate y S = –
25
16
beträgt. Daher ist S = (x S |y S ) der einzige lokale Extrempunkt.
Pinboard
4
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
2 Algebra und Geometrie
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
mittel
mittel
Thema: Alltag
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 1
c) 2
Kugelstoßen
Aufgabennummer: A_060
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Beim Kugelstoßen kann die Flugbahn der Kugel näherungsweise durch eine Funktion 2. Grades
beschrieben werden.
Den österreichischen Rekord beim Kugelstoßen hält Klaus Bodenmüller (Linz, 13. Juni 1987).
Die folgende Funktionsgleichung beschreibt näherungsweise die Flugbahn der Kugel bei seinem
Rekord:
h(x) = –0,08769 ∙ x 2 + 1,7269 ∙ x + 2
h(x) … Höhe in Metern (m) an der Stelle x
x … horizontale Entfernung von der Abwurfstelle in Metern (m), x ≥ 0
a)
Berechnen Sie die Wurfweite, die den österreichischen Rekord darstellt, auf 2 Kommastellen genau.
b)
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Steigungswinkels in einem beliebigen
Punkt beim Aufsteigen.
c)
Entscheiden Sie, ob die folgende Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Antwort:
Abstoßwinkel = − Aufprallwinkel
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Kugelstoßen
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Wurfweite:
h(x) = 0 → – 0,08769 ∙ x 2 + 1,7269 ∙ x + 2 = 0
Nullstelle: x = 20,790…
Die Wurfweite beträgt daher rund 20,79 m.
b)
h' (x) = – 0,17538 ∙ x + 1,7269 ist der Anstieg k der Kurve an der Stelle x.
tan α = k
α (x) = arctan(– 0,17538 ∙ x + 1,7269)
c)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist symmetrisch bezüglich einer Senkrechten durch den
Hochpunkt. Da nicht aus der Höhe h = 0 m abgeschossen wird, liegen der Abstoßpunkt und der
Aufprallpunkt nicht gleich weit entfernt von der Symmetrieachse. Die Winkelzahlenwerte sind
daher verschieden.
Eine Erklärung durch die Berechnung der Winkel im Abschuss- und Aufprallpunkt wäre auch
möglich.
Kugelstoßen
3
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
3 Funktionale Zusammenhänge
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
—
4 Analysis
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
A Modellieren und Transferieren
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
—
B Operieren und Technologieeinsatz
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
leicht
mittel
mittel
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Thema: Sport
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelstoßen
Wasserkanal
Aufgabennummer: A_032
Technologieeinsatz:
möglich erforderlich Die Querschnittsfläche eines Kanals ist unten von
einer Randkurve begrenzt, die mit der Funktion f beschrieben werden kann, wobei der Wasserspiegel
genau entlang der x-Achse verläuft (Abb. 1).
f(x) in m
f(x) = 0,015 · x 4 – 3
x … horizontale Koordinate
in Metern (m)
f (x) … vertikale Koordinate eines Punktes auf der
Randkurve an der Stelle x in Metern (m)
Abb. 1
a)
Das Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 1,2 Metern pro Sekunde (m/s) durch den Kanal.
– Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser pro Sekunde durch den Kanalquerschnitt fließen.
b)
– Erklären Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung den Winkel der Seitenwände bestimmen
kann, den sie jeweils mit der x-Achse einschließen.
c)
Die Kanalhöhe wird durch Verlängerung der Randkurve bis zu einer Höhe von 2 m über dem
Wasserspiegel vergrößert (Abb. 2).
x in m
Abb. 2
– Finden Sie eine geometrische Figur, die die zusätzliche Querschnittsfläche näherungsweise
beschreibt.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Figur.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit
passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Wasserkanal
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Nullstellen mit Technologieeinsatz: x1 ≈ –3,76 m, x2 ≈ 3,76 m
|
3,76
(0,015
–3,76
∙ x4 –3)d x | = 18,05
A = 18,05 m²
V = 18,05 · 1,2 ≈ 21,66
Der Durchfluss beträgt rund 21,66 m³/s.
b)
Man muss zuerst die Steigungen des Funktionsgraphen an den beiden Nullstellen berechnen.
Hierzu leitet man die Funktion f ab und setzt die Nullstellen jeweils in die Ableitungsfunktion ein.
Die so erhaltenen Werte entsprechen jeweils dem Tangens des gesuchten Winkels.
Mit der Umkehrfunktion Arkustangens erhält man die gesuchten Anstiegswinkel der Seitenwände.
Eine von Erklärungen begleitete Berechnung ist ebenfalls gültig.
c)
Mit einem Trapez.
Höhe des Trapezes: 2 m, Grundlinie: ungefähr 7,5 m; Decklinie: rund 8,5 m
Fläche des Trapezes:
8,5 + 7,5 ∙ 2
2
= 16
Die Vergrößerung der Querschnittsfläche beträgt rund 16 m².
Andere geometrische Figuren sind auch zulässig, z. B. Rechtecke.
Wasserkanal
3
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
4 Analysis
2 Algebra und Geometrie
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
2 Algebra und Geometrie
2 Algebra und Geometrie
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
A Modellieren und Transferieren
D Argumentieren und Kommunizieren
A Modellieren und Transferieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
—
B Operieren und Technologieeinsatz
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
mittel
leicht
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Thema: Tiefbau
Quelle: Alexander Schwarz, www.mathe-aufgaben.com;
http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-berufliche-gymnasien.html
Volumenstrom
Aufgabennummer: A_049
Technologieeinsatz:
möglich £
erforderlich S
Wasser an einer Staustufe wird über Kanäle in einen Fluss abgelassen.
Das Wasservolumen in Kubikmetern pro Sekunde (m³/s), das an einer Messstelle in einem Kanal
vorbeifließt, bezeichnet man als Volumenstrom.
Dieser geht nach dem Öffnen des Tores nach einem Schwall allmählich in einen konstanten
Volumenstrom über.
a)
Der nachstehende Graph stellt die Entwicklung des Volumenstroms f im 1. Kanal in den
ersten 13 Sekunden nach Öffnen des Tores dar.
f(t) in m 3/s
– Geben Sie an, wann der Volumenstrom am stärksten ist.
– Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 1 s und zum
Zeitpunkt t = 6,5 s.
b)
Der Verlauf des Volumenstroms im 2. Kanal folgt annähernd der Funktionsgleichung:
f(t) = 0,32t 3 – 6,76t² + 36,85t + 10 im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 10,4 s,
f(t) = 22,03; für t > 10,4 s.
t … Zeit in Sekunden (s)
f(t) … Volumenstrom in m³/s nach t Sekunden
– Berechnen Sie das gesamte Wasservolumen V, das in den ersten 13 Sekunden
durch den 2. Kanal geflossen ist. Es gilt der Zusammenhang V =
Runden Sie das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.
b
f(t)dt.
a
Volumenstrom
c)
2
Der Volumenstrom im 3. Kanal beträgt zu Beginn 12 m³/s. Der höchste Wert wird nach
4 Sekunden erreicht und beträgt 80 m³/s. Nach 11 Sekunden geht am Minimum der
Funktion der Schwall in einen konstanten Strom über.
– Erstellen Sie das Gleichungssystem, mit dessen Hilfe man eine Polynomfunktion
3. Grades
g(t) = a · t 3 + b · t 2 + c · t + d
berechnen kann, die den Verlauf des Volumenstroms in den ersten 11 Sekunden
beschreibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Volumenstrom
3
Möglicher Lösungsweg
a)
f(t) in m3/s
k2 ≈ –11
Der Volumenstrom f im Kanal erreicht nach ungefähr 3,7 s den höchsten Wert von ca. 70 m³/s.
Einzeichnen der Tangenten bei t = 1 und bei t = 6,5
Der Anstieg der Kurve (= momentane Änderungsrate) beträgt bei 1 s ca. 24 m³/s,
bei 6,5 s ca. –11 m³/s.
(Das bedeutet, dass der Schwall rasch ansteigt, aber langsamer abnimmt.)
Alle Beschreibungen, die die wichtigsten hier erfassten Daten enthalten, sind zulässig.
Die Ablesungen können bei dieser Aufgabe wegen des Einzeichnens der Tangenten bei Bearbeitung per Hand ungenau ausfallen. Das ist zu tolerieren.
b)
V(13) =
10,4
(0,32t 3
0
– 6,76t² + 36,85t + 10)dt + 22,03 ·∙ (13 – 10,4)
V(13) = 498,041… + 57,278 ≈ 555,32
In 13 Sekunden fließen insgesamt rund 555,32 m³ Wasser durch den Kanal.
c)
t = 0; g(0) = 12 " d = 12
t = 4; g(4) = 80 " 64a + 16b + 4c + d = 80
t = 4; g' (4) = 0 " 48a + 8b + c = 0 … Maximum
t = 11; g' (11) = 0 " 363a + 22b + c = 0 … Minimum
(g' (t) = 3a · t² + 2b · t + c)
Volumenstrom
4
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
4 Analysis
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
2 Algebra und Geometrie
2 Algebra und Geometrie
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
C Interpretieren und Dokumentieren
B Operieren und Technologieeinsatz
A Modellieren und Transferieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
A Modellieren und Transferieren
—
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
schwer
mittel
Thema: Technik
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Energieverbrauch und Joggen
Aufgabennummer: A_045
möglich Technologieeinsatz:
erforderlich Der Energieverbrauch in Kilojoule (kJ) pro Minute (min) beim Joggen ist unter anderem abhängig
von der Körpermasse in Kilogramm (kg). Der Verbrauch bei einer bestimmten Geschwindigkeit
durch ebenes Gelände wird durch die folgende Tabelle beschrieben:
Körpermasse
in kg
50
60
70
80
90
100
Energieverbrauch
in kJ pro min
58
66
73
82
90
98
a)
– Berechnen Sie aus den Werten der obigen Tabelle die mittlere Änderungsrate
zwischen 50 kg und 100 kg des Energieverbrauchs pro Kilogramm Körpermasse.
– Erklären Sie die mathematische Bedeutung der mittleren Änderungsrate in einem
linearen Modell.
b)
Eine Person mit 70 kg Körpergewicht beginnt mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu
joggen und wird aufgrund von Erschöpfung langsamer. Damit sinkt ihr Energieverbrauch pro Minute um 0,5 %.
– Geben Sie eine Funktion der Zeit an, die den sinkenden Energieverbrauch dieser
Person beschreibt.
c)
Eine Joggerin mit einer Körpermasse von 60 kg joggt bergauf. Dabei bleibt der Energieverbrauch pro Minute nicht konstant und kann näherungsweise durch die folgende
quadratische Funktionsgleichung beschrieben werden:
f(t) = –0,05t 2 + 3t + 66
0 min ≤ t ≤ 30 min
t … Zeit in Minuten (min)
f(t) … Energieverbrauch in Kilojoule pro Minute (kJ/min) zum Zeitpunkt t
Der Gesamtenergieverbrauch E während des Trainings lässt sich über diejenige Fläche
berechnen, die der Graph der Funktion f mit der Zeitachse im Intervall [0 min; t min]
einschließt.
– Geben Sie diejenige Gleichung an, aus der man die Zeitdauer berechnen kann, die
die Joggerin bergauf laufen müsste, um die gleiche Menge an Energie zu verbrauchen,
die sie für 30 min Joggen in der Ebene benötigt.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Energieverbrauch und Joggen
2
Möglicher Lösungsweg
a)
k=
Δy
Δx
=
40
50
4
= kJ
5 min ∙ kg
Die mittlere Änderungsrate einer linearen Funktion ist gleichbedeutend mit ihrer Steigung.
b)
Der „Abnahmekoeffizient“ pro Minute ist 0,995. Der Energieverbrauch zu Beginn ist 73 kJ/min.
f(t) = 73 · 0,995 t
t … Zeit in Minuten
f(t) ... Energieverbrauch (in kJ) pro Minute zum Zeitpunkt t
c)
Gesamtenergieverbrauch E für 30 Minuten in der Ebene joggen: 1 980 kJ
E=
t
(–0,05t2
0
+ 3t + 66)dt = 1 980 kJ
Die Berechnung des Integrals führt zu folgender Gleichung:
1 980= –
0,05t3 3t2
+
+66t
3
2
Energieverbrauch und Joggen
3
Klassifikation
Teil A
Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
A Modellieren und Transferieren
B Operieren und Technologieeinsatz
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
D Argumentieren und Kommunizieren
—
A Modellieren und Transferieren
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
mittel
mittel
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Thema: Sport
Quelle: http://www.marchevital.de/ernaehrung/energieverbrauch.html
Geländewagen
Aufgabennummer: A_053
möglich S
Technologieeinsatz:
erforderlich £
Ein Geländewagen fährt auf einer Bergstraße. Die Messwerte für ein Bergstraßenprofil sind in folgender
Tabelle festgehalten:
x in km
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
g(x) in km
0
0,04
0,09
0,15
0,2
0,23
x … horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in Kilometern (km)
g(x) … Höhenunterschied zum Ausgangspunkt an der Stelle x in Kilometern (km)
a)
– Ermitteln Sie anhand der gegebenen Daten die durchschnittlichen Steigungen der einzelnen
Abschnitte.
– Erläutern Sie, welche Bedingungen gegeben sein müssen, damit ein Geländewagen, der eine
Steigung von bis zu 30 % schafft, den Berg hinaufkommt.
b)
Das Bergstraßenprofil wird im Intervall [0 km; 1 km] durch die Funktion f modelliert.
f(x) = –0,35x3 + 0,45x2 + 0,075x + 0,0075
x … horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in km
f(x) … Höhenunterschied zum Ausgangspunkt an der Stelle x in km
– Stellen Sie die Daten der obigen Tabelle und den Graphen der Funktion f in einem
kartesischen Koordinatensystem dar.
– Prüfen Sie anhand der Grafik, ob das Funktionsmodell zu den in der obigen Tabelle
gegebenen Daten passt.
c)
Das Bergstraßenprofil kann im Intervall [0 km; 1 km] sehr gut durch folgende Funktion modelliert
werden:
f(x) = –0,3x3 + 0,45x2 + 0,075x + 0,0075
x … horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in km
f(x) … Höhenunterschied zum Ausgangspunkt an der Stelle x in km
Folgende Berechnung wird durchgeführt:
f(x) = –0,3x3 + 0,45x2 + 0,075x + 0,0075
f'(x) = –0,9x2 + 0,9x + 0,075
f''(x) = –1,8x + 0,9
f''(x) = 0 ⇒ x1 = 0,5
f'(x1 ) = 0,3
– Erläutern Sie die durchgeführten Rechenschritte.
– Erklären Sie, was mithilfe dieser Rechnung in Bezug auf einen bergauf fahrenden
Geländewagen ermittelt wird.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme
sind zu beschriften und zu skalieren.
Geländewagen
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Aus der Tabelle werden die Steigungen der einzelnen Abschnitte ermittelt.
k =
Δg(x)
Δx
mit Δx = 0,2 km
k1
k2
k3
k4
k5
0,2
0,25
0,3
0,25
0,15
Der Geländewagen kommt den Berg hinauf, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
– Die Steigung im 3. Abschnitt ist konstant.
– Die Steigung in den anderen Abschnitten ist nirgends größer als 0,3.
b)
!#&$"
und f(x) in km
yg(x)
in km
!#&"
!#%$"
*+,-..-"
!#%"
/0123415647-.."
!#!$"
x
in km
km
x in
!"
!"
!#&"
!#'"
!#("
!#)"
%"
Das Funktionsmodell beschreibt die Daten der Tabelle im Intervall [0 km; 0,5 km] ganz gut.
Danach ist der Anstieg der Funktion f kleiner als bei den Daten aus der Tabelle, d. h., der nach
1 km zu überwindende Höhenunterschied wäre laut Modell zu gering.
Die Funktion f hat außerdem bei x = 0,93 km ein lokales Maximum, d. h., sie fällt anschließend,
was ebenfalls nicht den Daten in der Tabelle entspricht.
c)
Es wurde die Funktion f 2-mal differenziert und die 2. Ableitung null gesetzt. Man erhält jene
x-Werte der Funktion f, an denen die Steigung (in diesem Fall) maximal ist.
f'(x) = 0,3
Der Wert 0,3 gibt die maximale Steigung der Funktion f an. Die maximale Steigung, die das Geländeauto zu überwinden hat, beträgt somit 30 %. Geländewagen
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
—
—
—
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
B Operieren und Technologieeinsatz
D Argumentieren und Kommunizieren
D Argumentieren und Kommunizieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
D Argumentieren und Kommunizieren
B Operieren und Technologieeinsatz
C Interpretieren und Dokumentieren
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
schwer
mittel
schwer
Thema: Bewegungsaufgabe
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2
Zylindrische Gefäße
Aufgabennummer: A_055
möglich S
Technologieeinsatz:
erforderlich £
Die Außenfläche eines zylindrischen, oben offenen Gefäßes (gerader Drehzylinder) lässt sich mit
folgender Funktion beschreiben:
A(r) = r ² ∙ π + 2 · V
r
mit V = konstant
r … Radius in Dezimetern (dm)
A … Außenfläche in dm²
V … Fassungsvermögen (Volumen) des Gefäßes in Litern (L)
Die nebenstehende Grafik zeigt
eine Darstellung der Abhängigkeit der Außenfläche A vom
Radius r für ein Gefäß mit einem
Fassungsvermögen von 3 Litern,
wie sie von einer Mathematiksoftware ausgegeben wird.
A in dm2
a)
– Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion, wenn r gegen 0 strebt.
– Geben Sie unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Funktion A eine Außenfläche
beschreiben soll, einen mathematisch sinnvollen Definitionsbereich für r an.
b)
– Entnehmen Sie dem Graphen die möglichen Radien für eine Außenfläche von 25 dm².
– Begründen Sie, warum es sich nicht um eine Funktion handelt, wenn man den
Radius r in Abhängigkeit von A darstellt.
c)
– Berechnen Sie mithilfe der Differenzialrechnung jenen Radius r, für den die Außenfläche
eines oben offenen Zylinders mit Fassungsvermögen V = 5 L am geringsten ist.
Runden Sie Ihr Ergebnis auf 1 Nachkommastelle.
Hinweis zur Aufgabe:
Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Zylindrische Gefäße
2
Möglicher Lösungsweg
a)
Bei einer linksseitigen Annäherung von r an 0 strebt der Funktionswert gegen – ∞.
Bei einer rechtsseitigen Annäherung von r an 0 strebt der Funktionswert gegen ∞.
An der Stelle r = 0 hat die Funktion eine Polstelle. Der Funktionswert an der Stelle 0 ist nicht
definiert.
Definitionsbereich D = ℝ+
b)
Die möglichen Radien sind 0,2 dm und 2,7 dm.
Eine angemessene Ungenauigkeit beim Ablesen der Werte wird toleriert.
Die Zuordnung Radius in Abhängigkeit der Außenfläche ist keine Funktion, da bei dieser Zuordnung
einem Wert A aus der Definitionsmenge bis auf eine Ausnahme immer 2 Werte r der Wertemenge
zugeordnet werden. Dies widerspricht der Definition einer Funktion.
c)
Es wird die 1. Ableitung A' (r) berechnet.
A' (r) = 2 · r · π – 10
r2
Das Auflösen der Gleichung A' (r) = 0 ergibt r = 1,2 dm.
Auf die rechnerische Kontrolle, ob es sich beim berechneten Wert tatsächlich um ein Minimum
handelt, kann verzichtet werden, da die Funktion A für V = 3 dm³ bereits in der Angabe grafisch
dargestellt ist.
Zylindrische Gefäße
3
Klassifikation
S Teil A
£ Teil B
Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:
a)
b)
c)
4 Analysis
3 Funktionale Zusammenhänge
4 Analysis
Nebeninhaltsdimension:
a)
b)
c)
3 Funktionale Zusammenhänge
—
2 Algebra und Geometrie
Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:
a)
b)
c)
C Interpretieren und Dokumentieren
C Interpretieren und Dokumentieren
A Modellieren und Transferieren
Nebenhandlungsdimension:
a)
b)
c)
—
D Argumentieren und Kommunizieren
B Operieren und Technologieeinsatz
Schwierigkeitsgrad:
a)
b)
c)
mittel
leicht
leicht
Thema: Alltag
Quellen: —
Punkteanzahl:
a) 2
b) 2
c) 2

Download Report