複素関数論 テーラー展開・マクローリン展開
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番 名前
1. 次の関数の展開を求めよ。また、収束する範囲を不等式で表せ。 (1)
1 のマクローリン展開
2+z
ヒント：
答え：
(2)
1 =
1
と変形する。
2+z
2(1 + z2 )
1 = 1 − z + z 2 − z 3 + · · · + (−1)n z n + · · ·
2+z
2
22
23
24
2n+1
収束範囲は |z| < 2
1 の z = 2 を中心としたテーラー展開
3−z
ヒント：z − 2 = w とおく。
答え：
1 = 1 + (z − 2) + (z − 2)2 + · · · + (z − 2)n + · · ·
3−z
収束する範囲は |z − 2| < 1
(3) ez の z = 1 を中心としたテーラー展開
ヒント：z − 1 = w とおく。
e (z − 2)2 + · · · + e (z − 1)n + · · ·
2
n!
収束する範囲は |z − 1| < ∞ より、複素平面全体。
答え：ez = e + e(z − 1) +
(4)
1 の z = 1 を中心としたテーラー展開
1+z
1 =
1
となるので、
1+z
2+w
これを w に関してマクローリン展開する。
ヒント：z − 1 = w とおくと、
2
3
n
1 = 1 − (z − 1) + (z − 1) − (z − 1) + · · · + (−1)n (z − 1) + · · ·
1+z
2
2n
22
23
24
z−1
収束する範囲は < 1 より、 |z − 1| < 2
2
答え：
(5) 1 − z の z = 1 を中心としたテーラー展開
1+z
1 − z = −(z − 1) × 1 として、(4) の結果を用いる。
1+z
1+z
1 − z = −1 + 2 として、(4) を用いる。
または、
1+z
1+z
ヒント：
答え：
2
3
n
1 − z = − z − 1 + (z − 1) − (z − 1) + · · · + (−1)n (z − 1) + · · ·
n
2
3
1+z
2 2
2
2
z−1
収束する範囲は < 1 より、|z − 1| < 2
2

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