演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる)! (*)の証明には排中律が必要 41. (*)! ¬∀xA(x)⊃∃x¬A(x)! 42. ! ∃x¬A(x)⊃¬∀xA(x)! ! ヒント 41は「二重否定の除去」を2回用いる演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる) ただしBにはxが自由変数として現れない． 43. ! ∃x(A(x)∧B)⊃∃xA(x)∧B! 44. ! ∃xA(x)∧B⊃∃x(A(x)∧B) 演習 Bにxが自由変数として現れるかも知れないときは， 下記のどちらかは証明できるがもう一方は成立しない．! 証明できる方を証明し，できない方は反例を示せ． 43’! ∃x(A(x)∧B(x))⊃∃xA(x)∧∃xB(x)! 44’! ∃xA(x)∧∃xB(x)⊃∃x(A(x)∧B(x)) 演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる) ただしBにはxが自由変数として現れない． 45. ! ∀x(A(x)⊃B)⊃(∃xA(x)⊃B)! 46. ! (∃xA(x)⊃B)⊃∀x(A(x)⊃B) 演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる) (*)の証明には排中律が必要 47. (*)! (¬A⊃B)⊃A∨B 演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる) (*)の証明には排中律が必要 48. (*)! ¬∃x¬A(x)⊃∀xA(x) ヒント: (35)¬∃xA(x)⊃∀x¬A(x)と¬¬A⊃Aの証明を組み合わせる演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる) ただしBにはxが自由変数として現れない．! (*)の証明には排中律が必要 49. ! ∀xA(x)∨B⊃∀x(A(x)∨B) ! 50. (*)! ∀x(A(x)∨B)⊃∀xA(x)∨B 演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる)! 51. ! ¬¬(¬A∨A)! ! 排中律も二重否定の除去も用いずにNJで証明する．! この定理より，排中律は二重否定の除去から導かれることになる．! 逆は既に示したので，排中律と二重否定の除去は等価ということを示したことになる．! すなわち，古典論理については，排中律の替わりに二重否定の除去を公理として 採用することができる．演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる)! ! 52. ! ∀xA(x)⊃¬∃x¬A(x) (36. ∀x¬A(x)⊃¬∃xA(x)の応用) 演習以下を証明せよ．(最終的に証明の仮定は空集合になる)! (*)の証明には排中律が必要 53. (*)! ¬∀x¬A(x)⊃∃xA(x) (41. ¬∀xA(x)⊃∃x¬A(x)の応用)