アイノルム iNorm 二乗ノルムに関するミニマックス問題を高速に解く評価関数平準化能力を調整できる評価関数 ■製品概要アイノルム iNormは、N個の二乗ノルムの最大値を最小化するミニマックス問題を高速に解くための評価関数です。求まる最適解はミニマックス問題の近似解ですが、十分な精度を保持しています。また、『複数の評価点における二乗誤差を何らかの意味で最適化したい』という時、評価関数として平均二乗ノルムか最大ノルムがよく採用されます。しかし本当に欲しい評価アイノルム関数は、その中間にあることも少なくありません。iNormを利用すれば、平均二乗ノルムと最大ノルムの中間にある評価関数を自由に選択することができます。 ■効果誤差ノルムの2乗値 1.60E+01 λ:0.0 ⇒iNormが平均二乗ノルムとして動作した結果 λ:1.0 ⇒iNormが最大ノルムとして動作した結果 minν ⇒補助変数νを使用したmin-max最適化結果 1.40E+01 1.20E+01 誤差ノルムの2乗値 1.00E+01 49 46 43 10 7 4 1 0.00E+00 6.00E+00 40 8.00E+00 37 λ：0.0 λ：0.5 λ：1.0 minν 2.00E+00 34 1.00E+01 31 4.00E+00 28 1.20E+01 25 6.00E+00 22 1.40E+01 19 8.00E+00 16 1.60E+01 λ：0.0 λ：0.5 λ：1.0 minν 13 1.80E+01 4.00E+00 実験条件評価点数：512 変数数：512 計算次元数：100 線形制約数：25600 各種データは乱数によって生成 2.00E+00 487 460 406 433 352 379 325 271 298 244 190 217 136 163 109 55 82 1 28 0.00E+00 アイノルム iNormではλ=0.0からλ=1.0の間で任意任意の任意の平準化能力を平準化能力を選択可能です．λ=0.0の場合に選択可能は平均二乗ノルムとなり、λ=1.0の場合には最大ノルムのよい近似となります。アイノルムまた、λ=1.0としたiNormは近似最大ノルムとして動作するので、ミニマックス問題の緩和解法となります。図の条件では、従来手法である従来手法である“ である“補助変数を補助変数を使用した使用した方した方法”の3～4%の 4%の時間で最適化計算が終了時間します。 λ：0.0 λ：1.0 12.09 Numerical Optimizer の計算時間[min] 13.22 minν ■適用分野・非線形最適化の分野・逆問題の分野・フィードバック制御の分野 * 本製品はアドオン製品です。ご利用には株式会社NTTデータ数理システムの汎用数理計画法パッケージである数理システム Numerical Optimizer が別途必要です。（単体では動作しません） * NS Solutions、NSロゴ、iNorm ＼アイノルムは、新日鉄住金ソリューションズ株式会社の登録商標です。 * その他本文記載の会社名及び製品名は、それぞれ各社の商標又は登録商標です。 443.73 アイノルム ■iNormの詳細アイノルム [iNormの構造の構造 ] iNorm (z , λ ) := ∑ {w (z, λ )z } N 2 i =1 i i ⇐ {zi2 }の関数重み付き平均 where z := [z1 0 ≤ λ ≤ 1, wi (z , λ ) ≥ 0, z2 L z N ] T N ∑ w (z , λ ) = 1, i =1 i wi (αz , λ ) = wi (z , λ ) (∀α > 0 ) j番目  i番目  wi  L , z j , L , zi , L  = w j (z1 , z2 , L , z N ) (i ≠ j )   1 N 2 2 iNorm (z , λ = 0 ) = ∑ zi , iNorm (z , λ = 1) ≅ max zi N i =1 1≤ i ≤ N ( ) ⇐ {zi2 }の平均値～ {zi2 }の最大値の間を任意に補間 iNorm (z , λ )　は zの凸関数 (∀λ ) (解析的な証明は未完 ) ⇐ 最適化計算が容易アイノルム [iNormを利用したミニマックス問題 [iNorm を利用したミニマックス問題の定式化] の定式化] [ ミニマックス問題 ] 2 Si x + bi  1≤ i ≤ N  subject to [ iNorm を利用した緩和問題 ] (iNorm (z1 = S1 x + b1 ,L , z N = min x  min  max x  l1   x   u1  l  ≤  Ax  ≤ u   2    2 ⇒ S N x + bN , λ = 1)) subject to  l1   x   u1  l  ≤  Ax  ≤ u   2    2 (原問題の線形制約条件以外の追加制約条件なし！！) iNorm(z, λ = 1) (N = 3 の場合 ) の等ノルム曲面 (立方体に近い ⇔ 最大ノルムに近い) ■動作確認環境・OS：Linux CentOS 6.4 64bit ・CPU：Corei5 ・メモリ：16GB ・コンパイラ：GCC 4.4.7 ■Numerical Optimizer 対応バージョン・必須オプション：NLPモジュール・対応バージョン Linux版：Numerical Optimizer V16以降 Windows版：検討中 ■お問い合わせ先わせ先エンベデッド・ユビキタスシステムセンター〒104-8280 東京都中央区新川 2-20-15 ＮＢＦ新川ビル西館 TEL: 03-5117-7750 FAX: 03-5117-7751 E-mail: [email protected] URL: http://www.ns-sol.co.jp/ss/embedded/inorm.html * 本カタログの記載内容は、2014年3月現在のものです。