広島工業大学紀要研究編
第3
7巻 (
2
0
0
3
)p
p
.
4
9
5
7
論
文
H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライデイングモード制御
川辺尚志*・山中智司**
(平成 1
4年 6月2
5日受理)
SlidingModeControlf
o
ranInverted-TriplePendulumSystem
BasedontheH∞ ControlScheme
H
i
s
a
s
h
iKAWABEandTomoshiYAMANAKA
(
R
e
c
e
i
v
e
dJ
u
n
.25，
2
0
0
2
)
Abstract
As
t
a
b
i
l
i
z
a
t
i
o
nc
o
n
t
r
o
lf
o
rani
n
v
e
r
t
e
d
t
r
i
p
l
ependulumsystemconnectedi
ns
e
r
i
e
si
s
，andbyusinga
i
n
v
e
s
t
i
g
a
t
e
dbyf
o
r
m
u
l
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t
i
n
gar
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d
u
c
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d
o
r
d
e
rmodele
x
c
l
u
d
i
n
gt
h
ec
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r
tv
e
l
o
c
i
t
y
s
l
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d
i
n
gmodec
o
n
t
r
o
l
l
e
r(HSMCJbasedont
h
eH c
o
n
t
r
o
ltheory，ac
o
n
v
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n
t
i
o
n
a
lH s
e
r
v
o
∞
∞
andaf
r
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q
u
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n
c
y
s
h
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p
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dr
e
g
u
l
a
t
o
r(FSLQJt
ocomparet
h
er
o
b
u
s
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c
o
n
t
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l
l
e
r(HIC)，
a
g
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i
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i
s
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c
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m
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l
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p
l
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dt
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k
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h
eloop-shapedH
∞
c
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lschemet
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w
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i
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t
h
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u
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y
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l
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h
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u
l
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k
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l
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s
. TheHSMCsystemd
e
s
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g
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x
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s
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b
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ye
x
c
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l
l
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t
systemhavingt
h
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r
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b
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s
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s
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scomparedwitho
t
h
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rr
o
b
u
s
tc
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t
r
o
lsystemsbeginningwitht
h
eHICandFSLQ
s
y
s
t
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m
s
.
o
n
t
r
o
l
l
e
r，S
l
i
d
i
n
gmodec
o
n
t
r
o
l，Loopshaped
KeyWords:I
n
v
e
r
t
e
d
t
r
i
p
l
ependulum，H∞c
明
Frequency-shapedr
e
g
u
l
a
t
o
r，
Reduced-ordermodel
method，
倒立振子系の安定化の特徴は，台車に非駆動関節により
1. は じ め に
連結された振子を台車の水平移動により安定化させること
宇宙構造物，柔性ロボットアーム，情報機器，橋梁構造
である O すなわち，少ない制御力により，多くの一般化座
物等をはじめ，柔構造系のアクティブ制御技術が新しい制
標をシステムに内在する動力学的特性を利用することで操
御理論の応用分野として発展してきた1.2)。なかでも振子
作する必要があるため制御難易度が増すといえる。
系の振動制御に関しては，支点水平移動方式 3) に比べて支
本研究は，まだ成功例の少ない 4自由度の直列型 3重倒
点鉛直移動方式 4-7) や重心移動方式 8-101 の非線形ロバスト
立振子系の安定化問題について ，H∞制御設計を応用した
制御に関する研究は少ない。一方，代表的な不安定柔構造
スライデイング・モ」ド制御則を適用して，そのロバスト
物としては倒立振子があり，その制御則性能を検証するた
制御性能を検証するものである O この直列型 3重倒立振子
めの非常に多くの研究がなされているが，多重リンク結合
系については，J11谷ら 141 による H∞ループ整形法 lo1 を適
系やスピルオーバ問題を内在する多重フレキシブルリンク
用した成功例はあるが，スライデイング・モードの超平面
系の安定化運動制御に関しては，パラメータや不安定要因
設計に組み込んだ応用例はあまり見られず意義があるもの
の多さから成功報告例は少ないように思われる 11-131。
と考える附。
*広島工業大学工学部知能機械工学科
日広島工業大学大学院工学研究科機械システム工学専攻(現在，大日本精機械)
4
9
川辺尚志・山中智司
となる。ただし，
シミュレーションと実機の両面から，通常の H∞制御系
や周波数整形レギュレータ系よりも優れたロバスト性を示
。sf
Z=[8
2
1θ
すことが分かつた。
P3
イ =I
P2 P8 P9 P¥O
I
2
P3 P9 P
I
I P
2
. モデリング
図 1に直列型三重倒立振子系のモデルを示す。また，使
G
台車系の等価減衰係数 [Ns/m]
A
電圧/トルク変換係数 [N/vJ
9
重力加速度 [m/s2]
O
t
I
>
=
:i
，
12，
3リンクの回転中心から重心まで、の距離 [
m
]
i ，
12
，
3リンクの X 方向における重心位置 [mJ
また，各パラメータは
1
，
2
，
3リンクの Y方向における重心位置 [
m
]
台車の変位 [mJ
(
t
):リンク1，
ψl
年)
Z(
t
):リンク
+m~+t~~+t~~+tmA+~+~+~
l
1
P
2=~m21112 +m31
1
2+~m31113 +m)21
3+tm2
i
2の鉛直振れ角 [
r
a
d
J
+m)i+tmi~ +J
2+J
3
1， 2， 3の鉛直振れ角 [
r
a
d
]
l
P
3=~m31113 +~mi213 +tm3
i+J
3
1
1
+~m212
十
m3
1
+
m
i2+~ m31
3
P4=~mlll +m2
1
)
g
I
2+tm3
g1
3
P
5=(tml+m2+m3
)
g
l
l+(~m2 +m3
P
6=(tm2+m3
)
g
I
2+~m3g13
1
p7=tm3
g
3
1
2
3+im2
l
i+mii+im3l
i+J2+J
)
P
8=m31
l
P
9=tm)
1
21
)+im3
i+J)
1
1
P
I
O=tm2
2+m31
2+tm3
)
制御入力 [v]
y
，
2
2
1
1
1
P
I=
m
2
1
1
1
2+mi11
3+m31
2
3+2m
3
1
2+m2
l
t+m3l
j
8
(
t
) :i= 1，
2，
3番目のリンクの振れ中心角 [
r
a
d
]
i
u
(
t
)
l
;tIlli--11}}﹄￨ l
﹃
﹂
YiG
FIll--1111111111L
:
叩山
XiG
-P7 -P7
O
O
aaT
:i=
-P6 -P7
a斗
l
iG
[Nms/radJ
-P6 -P7 0
x
:i= ，
12，
3番目のリンクの等価減衰係数
(2)
制
ε
ん
G
o
O
0
l
l
d
1
μ3
O
nunUAU
i= ，
12
，
3番目のリンクの慣性モーメント [kgm2J
0
〆 7
・
:
O
d
一一一
﹁ 11111111111111L
Ji
。
O
一
一
。
:i
:i= ，
12，
3番目のリンクの長さ [mJ
μ2 O
O
，
12
，
3番目のリンクの質量 [
k
g
J
mi
l
i
O
oooa
一
一
r
台車系の等価質量 [
k
g
J
p
、
，ppo
M
εm4x4
P4 P
I
O PI2 PI3
用するパラメータを以下に示す。
s
4
x
l
E9
t
3
a
P
l
l=tm)li+J)
P
I
2=tm)l)
P
1
3= M+ ml+m2+m3
(3)
状態変数を
i
r=
x=[
z;
[同略的
s;
B
I B
)s
rε沢8xl
2 B
(4)
とおくて、状態方程式は次式になる O
pF=AX+Bu
lY=Cx
(5)
叩λ
ε
BX
16till-J
odA
Ihr
J
﹁lilt-L
B
o
x
一
一
B
φ
。
-筑
ε
，a
de-
﹁
t
P
I
l
l
i
l
l
d
o1
0 00
4
x
) 0
4
x
l
c=IO 0 1 0
I
E筑 5勺 E9{l
x
l
W
> とし，ラグランジェ法j)によるモデリング
(XiG，
y
o0 0 1
o 0 0 0 Olx)
を隷形近似した行列表現すると，結局
Ai+φi+fJz
=Fu
。
FilEBIllL
1 0 0 0
図 1より ，i
=1
，
2，
3番目のリンクの X，Y方向の重心変
位を
41
一
x0町 A
一
一
A
F
i
g
.
1 M
o
d
e
lo
fa
ni
n
v
e
r
t
e
d
t
r
i
p
l
ep
e
n
d
u
l
u
ms
y
s
t
e
m
-A
ただし、
(1)
5
0
←
(6)
H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライディングモード制御
なお関連する具体的パラメータは付録 (
A
-l
)~ (A-3)に
)
(
14
u珂 =-Bi1{-C
kμk
Z
k+BkYJ)+A]JxJ+A22x2}
0
)
で与えられる。ただし式(7
)
， (
1 より Y2=X2=Sであり，
示す。
4
0
)で述べるように
また式 (
3
. 制御系の設計
)
(
15
CpZk
=
X
l
の関係を用いる O
3
.
1 スライディングモード制御則の設計
ここでは特に，滑り面が動特性を有するロバスト超平面
次に滑り面
I
f
/=Oへの制御力
U
n
lとして，リアプノフ関
数を
Y=jv2
u
，
B7d
+(A
x
x2.
2UJ2.
)
(
16
d
と定義し，次に示す比例到達則
ま
より決定する。ヤ=lf/I/;<O とを満たす制御力は Unl-B;lkl
f
/
崎
4十
a
，
今
aJii
，
となるので，最終的に制御入力 U=Ueq+Unlは
)+A2
A
k
zk+Bi
U= B;lj-Ck(
f
/I
1CpZk+A2
;
Yl
2
Y2+kl
AU
，
，
BLdl l
﹃
1
1
1
1
1
1
1
1
，J γ F '
BBe
B6
al2
a
ードパック型のスライデイングモード制御系の構成を示
3
今
し，従来の状態フィードパック型に比べて観測器を必要と
恒川
(8)
しないので設計が容易である。
3
.
2 滑り面を形成する線形オペレータの設計
の関係を用いて次式が得られる。
[
;
;
]
=
[
:
:
:
2
1
[
:
;
J
t
j
u
[
;
J=
:
;
]
[
に
と1
[
2
2
]
=
M
ベ
=CT-1
1
x
1
1
x
7
7
x
7
9
1
7
x
l，
91
A21ε91 ，
A
l
lε91 AI2 E
A22ε
4
x
l
J
{
B2E 筑 l
C1E ¥
線形オベレータを有する切換超平面の設計には特に
5
)
4
.1
らによって提案された H∞制御ループ整形
McFarlane1
j
去を用いる。これはスライデイングモード制御系と H的制
御系の持つロバスト性を融合させてより強固なロバスト性
を持たせるためである。ループ整形法は ，H∞ノルムの上
限値 yを反復せずに解が得られることやプラントに原点極
が存在する場合でも求解可能なため倒立振子系の制御系設
計に適すると考えられる。
まず，式(7)の入力の数だけ低次元化した次式を実プラ
ント P
(
S
)と考える O
ヲ
ぺ
e
(9)
丸寸
A
l
川口
日1
)
(
19
Y
l=C1X
1
ただし
S
)
Shapedp
l
a
n
tρ(
[
00
[
00000
00
o1100
C
C，=1
可EA
)
ハU
(
o0 1 0 0 0 0
o0 0 1 0 0 0
)より
とする。ここで，式(7
)
， (
10
)
3
)
2 (
[
θ
1 (
Y
l=
s
f'Y2=S
(
1
1
)
とする。
1
1
))に対し，切換関数 vを
また，正準系(式 (
(
1
2
)
X
l
)+X2
I
f
/= - S(
と定義する O ただし，
X
l
)は式(13
)に示すダイナミクス
S(
を有する線形オベレータで，
S
)y
=
K
o
o(
lの関係とする o
X
l
)
S(
J
k=Akz
k+BkYl
k- Z
品
l
s
(
x
kZ
k
1) =C
)
(
13
F
i
n
a
lc
o
n
t
r
o
l
l
e
rKjs)
まず，スライデイングモード状態での等価制御入力 Ue
q
は
，
)
(
18
)はねが観測可能であれば出力フィ
で与えられる。式(18
，
守
6
・
伐
Ill1ds
J2
合内，
17J
tax
玖
一U
Vル一
，r
L
l川
11111E
﹁
7-v
J1f
工
﹂が寸
へ下
、}ノ，，
)
(
17
1/;=- k
l
f
/
(7)
蜘
変
の
4 4 'φ4 3u1 am I θ
巧む
鳥ι4
++:JJ1Illl
11---:一
Ja 町
1212;7
く
=一一一一=し﹁ ￨ L Z 引ー一
2 、ご一一一一
・ x
・ y y u T x x x a 17
x
ri--lli l1111L ナ人
ト
バ
A
ACC'I
を設計する。まず式(5)を可制御正準系に変換する O
ψ=0から
F
i
g
.
2B
lo
c
kd
i
a
g
r
a
mo
l
a
n
t
faugmentedp
5
1
川辺尚志・山中智司
2
4
)，
図 2に示す破線で囲んだ整形プラント P は，式 (
T
Y
m
i
n= + 仏 (XZ)
(
2
5
)のそれぞれの設計仕様を満たす前・後補償器 W1，W2
で低次元化プラント
P
cs)を周波数整形した形長 =W P W
2
ここで，
1
(
3
2
)
λmax は最大囲有値を示す c
(
i
i
i
) 不等式 Y>Y
m
i
n を満足する Y=1
.0
5
Y
m
i
n に対して，
となる O 伝達関数行列 G
(
s
)のドイル記述として
H∞制御器Ibは(負からむまでを伝達関数で表わすと)
IAIBI
G
(
s
)=¥士十三¥=c(
s
I-A)-'B+D
ICIDI
ι
X2= (
S
)
Y
lとなり，
(
2
0
)
ιに関する状態変数ムを
Z
k
=[
X
W
2X
l XWIFE 9
¥10xl
を用いる。 p(s
)，Wh)
，W2(
s
)の記述をそれぞれ
(
3
3
)
と置くことで
P(s
)
=
C
(
s
l
A
)
l
B
(
21
)
W
l
(
S
)
=
C
W
l
(
s
l
A
w
l
)
一l
Bw
1
1+Dw
(
2
2
)
W
2
(
s
)
=
C
w
2
(
s
l
A
w
2
)
l
B
w
2
+
D
w
2
(
2
3
)
(
S
)
=
[
J
J→γ
}
[
日l
え
(
3
4
)
とする。また，前置補償器 W1 はノイズ低減とチャタリン
が得られる O ただし，
2
4
)を，後置補償器 W2 は台車系の定常偏
グ抑制を考え式 (
T(
A=A-BS-1BTX
+y
2
(
l+(XZ-y
2
I
)
)-TZe
う
2
5
)を用いる O
差改善と応答性の改善を目的として式 (
W=
l+ほ
z
-y2I)
(
3
5
)
(
3
6
)
(
2
4
)
あ
九=_
i
JTX
Zk
+L(
川
)
i=_y2{I+(XZ-y2I WTzeT
qd
戸﹂
︼
ム
つ
-13
LM
s
ヲ'
Z
一
HY
S一
一
S
。
目一
+
一
一阜
d
ぺ
4
O
、、，弓‘
θiFα
R
ヲ'
θ一α
α
n
O
o凸
d
'k
pu
n
u
B
S
一
一
、，ノ
W
，
、
角川開
[
J
+
とする。また，中心解を与える式 (
3
4
)は
fω;i
s
2+2(
i
ω2+ω;
，
.
.. "\ω~ )s
"+2(
i
ω1+可
，
W(
s
)
=
k
w¥ーで￨ 、
(
3
7
)
に変形できる。式 (
3
7
)は，H∞制御器が内部にノルム条件
整形プラント Pは(ゐからあまでを伝達関数で表わすと)
(
2
8
)式を満足するような Z だけでなく， X にも依存した
ρ(s)ゐとなり，長に関する状態変数￡を
あ=
推定器ゲイン L をもった全次元観測器併合状態フィード
Z
=
L
X
W
2X
lX
W
l
j
"E':1¥
~_r___
パック制御系の構造を有している O
(
2
6
)
~._..lT~C官 10xl
図 2の破線で囲んだ整形プラント P に対する H∞制御
とおくことで
を P に対する同図の二重線で囲んだ H∞制御器
器 K∞
l
4
B ool
P
(
s
)一
07xl
凶
All
02xl
02x7
2CW
1¥A
A1
1
2DW
l
AW
B
1
CW
2 DW
2C1
04xl
K は (yl か ら む ま で を 伝 達 関 数 で 表 わ す と )
X2=~∞ (S)Yl となり， MJ
二関する状態変数 Z
kを
御器
(
2
7
)
とおくと
'kek
(
3
8
)
。 。
2
x
l
2x4
Bk
CW
2 BkDW2¥
AW
BW
2
2
AU
D
白川一
inu--
C
w k J U一 W
4
令
開泣一間
白川自己
mι
且
﹁lil111Ill11111
ー
し
∞
<y
e
d
t
ρ
/
，
‘
、
/
[
I
J(I-Ti刈
一
一
条件
K
が得られる O ここで，整形プラント P に対して H∞ノルム
c
，
-c
BA
Z
k
=
[
XW1 ふ xW2FE 9
¥13xl
A
=
[
れl
04x2
K∞
=W
1
仁W2となるように等価変換すると最終的に H∞制
1
01x4
(
3
9
)
(
2
8
)
=
[
円
]
を満たす制御器Ibを求める。式 (
2
8
)を満たす中心解(制
が得られる。よって，未知変数 X
l の状態量は，式 (
3
9
)の
o
o
) は次のアルゴリズムより得られる O
御器 K
15
)の等式
推定器構造より任意行列 Cp を用いることで式 (
(i)次のリカッチ方程式の正定解 X，
Z を計算する。
ATX+XA-x
BS-1
BTX+eT
R-1
e=o
AZ+ZA-ZeT
R-1
ez+BS-IBT=O
が成立する。ただし，任意行列 Cp は
(
2
9
)
Cp=
[
07X3
(
3
0
)
とする O
ただし，
X>O，Z>O，R=I4，S=[1
17
9
¥7x13
07x3FE
(
4
0
)
図 3に設計されたロバスト超平面を有するスライデイン
グ・モード制御系のシステム構成図を示す。
(
3
1
)
とする O
(i)この時 wノルムの最小値 Y
m
i
nが次式で与えられる。
52
H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライデイングモード制御
4
. 実験方法および装置
物 理 パ ラ メ ー タ は M=4.4[kg
，
] G=19.2[Ns/m
，
]
α=18.
4[N
八
乃
， ml=0.126[kg
，
] m2=0.073[kg
，
] m3=0.040[kg
，
]
ll=0.36[m
，
] l2=0.35[m
，
] l3=0.
40[m
，
] J1=2.281x
=9.657X1
=8.104X10
1
0
3
[
k
g
m
2
，
] Jz
O
4[kgm2
，
] J3
4
[
k
gm2
，
]
C1=8.380X1
0
-4[Nmslrad
，
l Cz
=7.019X1O-4[Nms/rad
，
l
C3
=6.021X10
4[
Nms/radl に設定する。図 .
4
tこ実験装置構
成図を図5に倒立状態の写真をそれぞれ示す。倒立振子駆
動部はジャパン EM製を使用し，台車移動量 S および各
リンクの振子角。1.2
.
3 はポテンショメータによりそれぞれ
検出し，台車の速度 S はタコジェネレーターより検出す
る
。 A/D，D/A 信号変換部はコンテック製を用いた。主
プログラムは C 言 語 で 書 き ， 計 算 機 (PC9821CPU:
.
3
7
400MHz) に実装した。また，サンプリング周期は， 0
[
m
s
] である。
F
i
g
.
5 S
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a
b
i
l
i
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S
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n
gmodec
o
n
t
r
o
l
l
a
w
1
j
I=
-S(X')+Y2
5
. 実験結果および考察
u=-B
'
，{-C，
(A
，
z
，
.+B，
y)
，
+AX2ICpZk+A担 Y2+kl
j
l
前置補償器
W1は kw=1，(=0.7，ω1=2xπX4[rad/s]，
ω2=2XπX40[
r
a
d
/
s
] に設定し，図 .
6
tこ示す低域フィル
y，
=s
y，
ター特牲を持つ。後置補償器 W2は α1
=27， α2=25， a3=
26， s
l=1
5， s
2=2 と設定した。このとき
y，
=
[
e
，
(
J
2
(
J
3
Is
r
=3
6
.
2
3
5に
Ymin
3次の線形オペレータが得られる。
対する 1
K~(s)=CbI-Ak)-lBk
-1523.1292(s+30.01
)(
s
+
2
1.
4)
(
s
+1
1
.
0
9
)
(
s
+
4
.
0
5
3
)
x
L
i
n
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p
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r
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s
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h
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p
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dH∞ c
(
s
+
0
.
1
3
3
3)
(
s
2
+
3
.
5
8
8
s
+
6
.
5
8
)
x
y
s
t
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md
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s
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g
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dw
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l
lHSMCs
11c
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e
o
r
y
2
)
(
s
2
+
3
51
.9s+6.317e
0
4
)
(
s2+63.26s+374
s
(
s
+272.
4)
(
s
+
3.
43
8
)
(
s
+2
.
5
4
9)
(
s
+
0
.
1
3
3
4
)
(
s
+1
2
.7
)
x
(
s
+
O.
47
9
7
)
(
S
2
+
2
0.
44s+107.
8
)
(
s
2
+
3
5
.
1
9
s
+
6
31
.7
)
x
(
s
2
+
3
0
6
s
+
3
.
5
3
g
e
0
4
)
(
4
1
)
式(
41)より，零固有値を持つことから積分性を有するこ
とが分かる。閉ループ系の極は付録の表 A2に示す。
また，線形フィードパック到達則の係数を k=5 とし，
倒立状態(初期値を O.O[m] とする)から台車に目標値
0.2[m] のステップ状外乱を与えたシミュレーション結果
を図 .
7に，対応する実機実験結果を図 8に示す。各国の (
a
)
は台車の変位 S[m]，(
b
)はリンク 3の振れ中心角 83[
r
a
d
]，
(
c
)はリンク 2の振れ中心角 82[
r
a
d
]，I
d
)はリンク lの振れ
[
r
a
d
] をそれぞれ示す。
中心角。 1
図.
7 (シミュレーション)と図 8 (実機)を比較すると，
8の(
a
)を見ると，
ほとんど一致していることがわかる。図 .
正確に目標値 0
.
2
[
m
] に到達しているので台車の定常偏差
F
i
g.
4 O
v
e
r
a
l
le
x
p
e
r
i
m
巴n
t
a
la
p
p
a
r
a
t
u
s
が改善できていることと，軌道を見る限りチャタリングは
5
3
川辺尚志・山中智司
，
.
，
・
:
・
市F :pipi--
0
.
5
0
.
2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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HSMCsystem(
designedwiththeloop-shapedH∞
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円
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⋮
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⋮
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⋮
⋮
⋮
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⋮
⋮
⋮
⋮
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⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
刊
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一
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一
一
一
一
一
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一
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一
町
一
日
一
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一
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一
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designedwiththeloop-shapedH∞
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o
巧r
)
[
v
]
。
。
W1(
s
) 補償器により抑制できていると思われる。また，同
s
J で整定していることから，応答
図より目標値まで約 4[
性も良好と言える O
図.
9は，制御開始後約 4
[
s
J からリンク 3に指でインパ
F
i
g
.
9 R
ealsystemc
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l
i
e
d
ルス状外乱を与えた時の実機制御応答を示す。外乱印加後
d
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s
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g
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dwitht
h
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ot
h
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k3i
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h
eHSMCsystem(
1th巴O巧r
)
l
o
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h
a
p
e
dI
J 聞ですばやく整定し，ロバスト安定性も良好であ
約4[s
るO
付録の図 Al に，図 A2で示す周波数整形積分型レギ、ユ
器とした系(図 A4に示す通常の H∞制御
(
H
I
C
)系)に
(
F
S
L
Q
) 系でのインパルス状外乱(図 9の場合と
おいて，第 3リンクにインパルス状外乱(図 9の場合と同
同一条件)を第 3リンクに加えた場合の実機制御応答を示
一条件)を加えた場合の実機制御応答を示す。同様に図
す。また付録の図 A3は，本研究(図 9)のスライデイン
A5 は図 A6で示す周波数整形積分型スライデイングモー
グモード制御系の動的滑り面の設計に用いた H∞解を制御
ド
レータ
- 54一
(
F
S
S
M
) 制御系でのインパルス外乱応答を示す
O
H~ 理論に基づく 3 重倒立振子のスライデイングモード制御
(
C
)，6
5
6
3
3，1
8
2
3
/
1
8
2
8(
1
9
9
9
)
.
図 A3 (HIC
系)と図 9 (HSMC
系)を比べると，特に
(a)台車の位置決め制御の整定性の面で多少図 A3 (
H
∞
系)の方は明
制御)系の方が劣っている。図 A1 (FSLQ
4
) 川辺，飯田，吉田:支点の鉛直変動による単振子の振
C)， 61-621，
動制御，日本機会学会論文集 (
1
5
0
2
/
1
5
0
7(
1
9
9
8
)
.
らかに劣っている O また図 A5に示す固定滑り面を有する
通常の周波数整形型スライデイングモード (FSSM) 制御
5)飯田，川辺，吉田:支点鉛直変動型振り子系の安定化
系では，図 A1系とほぼ同程度の整定性が見られるが制御
制御(特に力学的エネルギーに基づくリアプノフ型関
力のチャタリングが顕著である。従って，本文で採用した
5
6
3
3，
数を用いて)，日本機械学会論文集 (C)， 6
動的なロバスト超平面を有するスライデイングモード制御
1
8
2
9
/
1
8
3
4(
1
9
9
9
)
.
法が最もロバストな制御性能を有すると言える O これは，
6) H. Kawabe，K
.Yoshida & T
.I
i
d
a
: Vibration
乱された状態がすばやく超平面へ拘束されてスライデイン
l
i
d
i
n
g
Controlo
faPendulumSystembyaVSSS
グモード状態に入ることを可能にする(強いロバスト性を
Mode Control Techniquie，CONTROL AND
有する)動的な切換え面を持つためと考えられる O また，
INTELLIGENTSYSTEMS，
2
8
1，
2
9・3
6
(
2
0
0
0
)
.
この制御法では，設計段階で観測器を設計する必要のない
出力フィードパック方式であることや
7) H.Kawabe，K
.Yoshida& K
.Okada:TheVSS
Y>Y
m
i
n を満足
Controlf
o
raDoublePendulumSystemwitha
1
.
0
5
Y
m
i
n と保証されて求解されること
する評価指標が Y=
I
n
t
.J
.o
fMODELLING&
V
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r
t
i
c
a
lMovableP
i
v
o
t，
などで，比較的容易に良好な応答性やロバスト性を有する
SLIMULATION(Acceptedf
o
rp
u
b
l
i
c
a
t
i
o
n，
2
0
0
2
)
.
制御系設計が可能であると言える。
8)川辺，吉田，岡本:VSS制御技術を用いた重心移動
による振り子系の振動制御の一法，日本機械学会論文
6
. おわりに
H∞ループ整形法に基づく線形オベレータを有するスラ
集 (C，
) 6
6
6
4
3，7
8
6
/
4
9
2(
2
0
0
0
)
.
9)吉田， J
I
I辺，西村:重心移動による振子系の振動制御，
3
1
0， 470/477，
システム制御情報学会論文誌， 1
イデイング・モード制御則を直列型 3重倒立振子系に適用
(
2
0
0
0
).
し，シミュレーションと実機の両面よりロバスト制御性に
ついてその有効性を検証した。
1
0
) 吉田，植田，川辺，西村:重心移動による振子系の準
5
9，
最適制御，システム制御情報学会論文誌， 1
(
1
) (ループ整形理論の特徴を活かし)切換え超平面に低域
5
0
2
/
5
0
9(
2
0
0
2
)
.
通過型周波数特性と積分特性を持たせることによりスラ
イデイングモード制御特有のチャタリングの抑制と摺動
1
1
) 神本，川辺，吉田:剛性リンクに載った弾性リンクか
らなる 2重倒立振子の安定化制御，日本機械学会論文
摩擦抵抗に起因する台車系の定常偏差が改善できる。
(
2
)超平面がロバストに設計されているため(他の線形制御
法と比べて)外乱に対する状態の整定性が良好で、ある。
集
(
C
)，6
7
6
6
1，280612812 (
2
0
0
1
)
.
I
I辺 :H
∞制御理論を使った剛性リンクに載っ
1
2
) 神本， J
た弾性リンクからなる 2重倒立振子系のスライデイン
(
3
)
観測器を必要としないことや，補償器解が比較的容易に
設計できることで，サーボ構造を有するプラントには優
グモード制御，日本機械学会論文集(C
，
) 6
8
6
6
8，
れたロバスト性を持つ制御設計法と言える。
1
1
3
3
/
1
1
3
9(
2
0
0
2
)
.
1
3
) 神本，J11辺，吉田:弾性ビームで結合された直列型 2
重倒立振子系の
研究には自主性尊重の問題も重要であるが，実験的検証
には費用も要する O 本研究ほか一連の研究に関して，第 2
ハイテクセンターから一部助成を受けた。
(投稿中)。
1
4
) 川谷・村田・ファハリ・武士俣:ループ整形手法に基
づく直列 3重型倒立振子系の安定化制御，計測自動制
参考文献
1)日高，川辺
他:機械力学(振動の基礎から制御まで)，
H∞制御，日本機械学会論文集 (
C
)
御学会論文集
3
3
8，8
5
2
/
8
5
4(
19
9
7
)
.
.Glo
v
e
r
:RobustC
o
n
t
r
o
l
l
e
r
1
5
) D.C.McFarlaneandK
朝倉書面，学生のための機械シリーズ No
.
l(
2
0
0
0
)
.
DesignUsingNormalizedCoprimeFactorPlant
D
e
s
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i
o
n，LectureNotesi
nC
o
n
t
r
o
lInformation
2)奥山，川辺他:制御工学(古典から現代まで)，朝
.
2(
2
0
0
1
)
.
倉書庖，学生のための機械シリーズ No
S
c
i
e
n
c
e
s1
3
8，Springer-Verlag(19
9
0
)
.
3)川辺，原田，吉田:支点が水平移動する弾性振り子の
1
6
) 伊藤・野波:ロバスト超平面を有するスライデイング
運動制御(特に最小次元 VSS観測器併合スライデイ
モード制御の柔軟構造物への適用，日本機械学会論文
ングモード制御系について)，日本機械学会論文集
5
6
2
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6
1
/
1
6
6(
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9
9
9
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集 C編入 6
5
5-
川辺尚志・山中智司
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)のシステムパラメータを次の式 (A-1)-(A-3)
本文中の式 (
に示す。
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