Ｈ２７年度 材料力学Ⅱ １２ 構造強度設計 １２．１ 構造強度設計とは １２．２ 塑性崩壊 １２．３ 疲労設計 Ｈ２７－７/３ 早川 （Ｈ２７ 材力Ⅱ） １２．１ 構造強度設計とは？ 破損 ： 構造物が本来の機能を果たせなくなる状態 ・構造破損 ・変形破損 荷重・荷重条件 熱荷重 静的 （高温構造物） サブクリープ 変動 荷重条件 漸腐 進増 食 塑行崩 疲 性性壊 労 変 形 （ 塑性崩壊 環 脆座 延 境性 性 の 破屈 破 影壊 裂 響 他 クリープ ） 図１２．１ 代表的な破損の様式 低 サ イ ク ル 疲 労 高 サ イ ク ル 疲 労 １２．２ 塑性崩壊とその評価法 （極限解析） １２．２．１ 塑性崩壊とは 塑性崩壊 ： 構造物として使用に耐えないほどの過度の 塑性変形 → 全断面降伏 （壊れた状態ではない！） 前提 ： 弾完全塑性材 σ ひずみ硬化あり σｙ ひずみ硬化なし E ０ σｙ ： 降伏強さ Ｅ ： ヤング率 ε 図１２．３ 弾完全塑性材応力-ひずみ曲線 初期降伏 Py 塑性域 塑性域 塑性域 塑性崩壊 Pｃ 図12-2 円孔を含む帯板の塑性崩壊 １２．２．２ 軸力と曲げを受けるはりの塑性崩壊 （ 断面 ： 高さ ｔ ×巾 b ， 降伏強さσｙ ） ①軸力を受けるはり （膜降伏） ｔ σ＜σｙ Ｎ Ｎ Ｎｃ ⇒ 0 全断面降伏（崩壊） Ｎｃ＝σｙｂｔ 0 弾性 Ne 軸力 Nｃ Nｅ 図１２－４ σｙ Ｎｃ 無制限塑性流れ ０ 伸び ②曲げを受けるはり （塑性関節、ヒンジ） ● ｔ Ｍ＝Ｍｃ θ＝∞ Ｍ Ｍ 塑性関節 0 σ＜σ ｙ σｙ ⇒ 0 Ｍｅ 弾性 σｙ ⇒ ⇒ -σｙ 0 Ｍｙ 初期降伏 σｙ -σｙ 0 -σｙ 0 Ｍ ｐｙ Ｍｃ＝σｙ ｂｔ２／４ 全断面降伏（崩壊） 部分降伏 曲げモーメント 図１２－５ Ｍｃ Ｍｙ ０ 回転自由 Ｍｐｙ 回転角θ ③軸力と曲げを同時に受けるはり （塑性関節、ヒンジ） σ＜σｙ Ｎ Ｎ Ｍ Ｍ 0 図心 0 0 Ｍｅ 弾性 σｙ ⇒ ⇒ 中立軸 断面 σｙ σ＜σｙ Ｍｙ 初期降伏 σｙ ⇒ -σｙ 0 Ｍ ｐｙ 部分降伏 -σｙ 0 Ｍｃ 全断面降伏（崩壊） 曲げモーメント Ｍ ｃ Ｍｙ Ｍ ｐｙ 図１２－６ ０ 回転角θ σｙ Ｎ Ｎ Ｍ -σｙ η ｔ Ｍ ０ 図１２－７ 曲げ＋軸力を受けるはりの全断面降伏状態 軸力およびモーメントのつり合い → 崩壊限界条件式 ２ σｍ σｂ ３ （１２－４） ＝ １－ σｙ ２ σｙ σｍ＝ Ｎ ６Ｍ ，σｂ＝ ２ ｂｔ ｂｔ ＜練習問題１＞ 図１に示す自由端Ａに軸力Ｎと水平力Ｐが負荷される片持ちはり構造について； （１）軸力Ｎだけが負荷される場合の崩壊限界荷重Ｎｃ （２）水平力Ｐだけが負荷される場合の下記の諸量 （ⅰ）初期降伏荷重Ｐｙ （ⅱ）崩壊限界荷重Ｐｃ （ⅲ）Ｐｃ／Ｐｙの値 Ｎ Ａ Ｐ はり（長方形断面 ） 寸法 ： 厚さ ｔ ＝２０ｍｍ 巾 ｂ＝９ｍｍ 長さ Ｌ ＝５００ｍｍ Ｌ ｔ Ｂ 図１ 材料 ： 降伏強さσｙ＝２５０ＭＰａ （弾完全塑性材） ＜練習問題１の解答＞ σｙ σｍ＝σｙ （ １ ） 全断面一様降伏 （膜降伏） ０ Ｎｃ＝σｙｂｔ＝２５０×９×２０＝４５０００ Ｎ （１） （２ ） σｂ＝σ ｙ ⅰ） 表面降伏 （初期降伏 ） ２ σｙ Ｍ ｙ＝σｙ （ｂｔ ／６） ， Ｍ ｙ＝Ｐ ｙＬ ０ したがって 、 ＰｙＬ＝σｙ（ｂｔ ２／６） ⅰ） ∴ Ｐ ｙ＝σｙ（ｂｔ２ ／６Ｌ） ２ ＝ ２５０×（９×２０ ／（６×５００））＝３００ Ｎ ⅱ ） 全断面降伏 （ヒンジ ） 崩壊限界 σｙ ２ Ｍ ＝Ｐ Ｌ Ｍｃ＝σｙ （ｂｔ ／４） ， ｃ ｃ ０ したがって 、 ＰｃＬ＝σｙ（ｂｔ ２／４） ２ ⅱ） ∴ Ｐ ｃ＝σｙ（ｂｔ ／４Ｌ） ２ ＝ ２５０×（９×２０ ／（４×５００））＝４５０ Ｎ ⅲ ） Ｐ ｃ／Ｐｙ（＝Ｍｃ／Ｍ ｙ）＝４５０／３００＝１．５ －σｙ －σｙ １２．３ ＳＮ線図による疲労設計 １２．３．１ 構造物の疲労とは？ 疲労破壊のメカニズム 金属材料に繰返し応力が負荷→金属結晶中にすべり線発生 →すべり帯に沿って表面切欠きが形成→微小き裂へ成長 →き裂どうしが結合し大きなき裂に成長→金属材料が破壊 スタート N(i-1) 疲労き裂 主応力方向 N(i) 11 11 １２．３．２ 疲労強度評価の基礎（応力変動） σ ｍａ ｘ 最大応力 応力振幅 σ ａ ＝σ ｒ ／２ σ ｍａ ｘ σ ｒ ＝σ ｍａ ｘ －σ ｍｉ ｎ 応力範囲 ０ σ ａ ＝σ ｍａ ｘ σ ｍ ＝０ σ ｍ ＝（σ ｍａ ｘ ＋σ ｍｉ ｎ ）／２ 両振 平均応力 σ ｍｉ ｎ 最小応力 σ ｍａ ｘ （ａ） 応力変動の名称 σ ａ ＝σ ｍａ ｘ ／２ σ ｍ ＝σ ｍａ ｘ ／２ ０ 片振 （ｂ） 両振と片振 図１２－１１ 応力変動の名称 １２．３．３ ＳＮ線図 S1 応力振幅 Ｓ Ｎ１（寿命小）：１０４程度以下 S２ Ｎ２（寿命大）：１０５～１０６以上 Ｓ１ 大 ● Ｓ２ 小 ■ Ｎ１ 小 １０ １０ ２ １０ ３ Ｎ２ 大 １０ ４ １０ ５ １０ ６ 繰返し回数 Ｎ 低サイクル疲労域 高サイクル疲労域 ”明確な境界はない” 疲労線図 （ＳＮ線図） (a） 高サイクル疲労線図 1000 応力振幅 Ｓ 時間強度 （ＭＰａ） σ ６ 時間強度（例：σ は１０ ６ 時間強度） ６ 疲労限度 σｗ 100 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08 破断繰返し回数 Ｎ 図１２－１２ 高サイクル疲労線図 1.00E+09 １２．３．４ 疲労強度への平均応力の影響 (a）疲労限度に与える影響と評価法（高サイクル疲労） 250 疲労限度 σ ｗ σ200 応力振幅 平均応力 ｗ０ ● 150 修正疲労 限度σ100 ｗ‘ σｗ‘＝σｗ０（１－σｍ/σu） （１２－６） 50 0 ０ ● 0 100 200 平均応力σ ｍ 300 400 500 引張強さσ u 図１２－１８ 修正グッドマン線図 １２．３．６ 疲労限設計 （応力計算） （疲労強度データ） 変動応力のパターンの決定 （σａ ，σｍ） 平滑試験片の疲労限度 σｗ０の決定(両振） （σｍ） 平均応力の影響 修正グッドマン σ σｗ ’＝σｗ０（１－ ｍ ） σｕ 修正疲労限度 σｗ’の決定 影響因子の影響 切欠係数の考慮 安全率の考慮 影響因子 ： 寸法効果ζ１、表面状況ζ２ 切欠係数β または 応力集中係数α 安全率 ： 材料関連ｆｍ、荷重・応力関連ｆｓ 設計疲労限度 σｗの決定 （σａ） 強度評価 σａ＜σｗ 切欠係数 ＝平滑材の疲労限度/切欠材の疲労限度 ζζ １ σｗ＝σｗ ’ １ ２ ・ β ｆ ｍｆ ｓ 図１２－２４ 疲労限設計の 概略手順 影響因子 ： 寸法効果ζ１、について（参考） “試験片の寸法が大きくなる（実体）ほど疲労限度が低下する。“ ● （１０Φ試験片基準の例） ＜練習問題１ ： 疲労限設計 ＞ 図１のフックネジ部について、下記の評価条件に対して、疲労限設計により 許容引張荷重Ｔａを求めよ。 （評価条件） ・荷重／応力の変動パターンは図２による。 ・材料 引張強さσu ＝６００ＭＰａ，両振疲労限度σｗ０＝２００ＭＰａ ・ネジ部の応力集中係数 α＝４ （谷径ｄ＝２０ｍｍのネジ底断面の公称応力σ０基準） ・荷重に対する安全率 η＝π ｄ 荷重 Ｔ 応力 σｍａｘ σａ α σｍ Ｔ 図 １ 荷役用フック Ｔ （荷役引張荷重 ） σａ ０ 時間 図２ 荷重／応力の変動パターン ＜練習問題１ 解答＞ 荷役荷重 Ｔ＝ηＴａ＝πＴａ ２ ネジ底断面の公称応力 σ０＝Ｔ／Ａ＝πＴａ／（２０ π／４）＝Ｔａ/100 最大応力 σｍａｘ＝ασ０＝４×（Ｔa／１００）＝Ｔａ／２５ 応力変動は片振だから、 応力振幅σａ＝平均応力σｍ＝σｍａｘ／２＝Ｔａ／５０ 平均応力による修正疲労限度σ ｗ’を求める。 片振の疲労限度 σ ｗ’＝σ ｗ０（１－σ ａ／σ ｕ） 片振の条件 ： σ ｗ’ ＝σ a を使うと、 σ ｗ’＝σ ｗ０ σ u／（σ ｗ０＋σ ｕ）＝６００×２００／（６００＋２００）＝１５０ＭＰａ 他の影響因子は考慮しないから、σ ｗ＝σ ｗ’ 判定条件 ： σ ａ ＜σ ｗ より、 Ｔａ ／５０＜ １５０ ∴ Ｔ ａ ＜５０×１５０＝７５００ Ta＝７５００Ｎ＝７．５ ｋＮ 許容引張荷重 ： （別解） 荷役荷重Ｔに対して上記概略手順どおりに計算してもよい。
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