x − 1

2014 年度前期基礎数学（金曜 3 限）宿題 2 解答（担当：森口聡子）
注意
提出場所
提出期限
A4 用紙を使用し，名前および学修番号を記入し，左上をホッチキス留めすること．
3 号館 1 階事務室経営学系教務係前のレポート入れ
5 月 23 日（金）16 時
1. 関数
次の関数 y = f (x) の逆関数 x = f −1 (y) を求めなさい．逆関数の定義域も明示せよ．
(1-a) f (x) = x2 − 2x − 1 （ただし x ≥ 1）
解答：
y = x2 − 2x − 1 = (x − 1)2 − 2
y + 2 = (x − 1)2
√
y+2=x−1
√
−1
）
f (y) = y + 2 + 1 （定義域は y ≥ −2．
(1-b) f (x) = ln x4
解答：
y = ln x4
4 ln x = y
ln x = y/4
y
x = eln x = e 4
y
f −1 (y) = e 4 （定義域は y ∈ R．
）
2. 微分
次の関数を x で微分せよ．
(2-a) y = (x3 )−2
解答：
y = x−6
y = −6x−7 = − x67
(2-b) y = x2 (3 − x)
解答：
y = (x2 ) (3 − x) + x2 (3 − x) = −3x2 + 6x
(2-c) y = e3x
解答：
y = 3e3x
（合成関数の微分の公式において， f (x) = ex , g(x) = 3x, f (g(x)) = e3x ．
）
(2-d) y = x5x （ヒント：対数微分と合成関数の微分の公式）
解答：
両辺の自然対数をとる． ln y = ln x5x
d
両辺を x で微分する． dx
ln y = 5 ln x + 5
d
対数微分の公式より， f (x) = f (x) dx
ln f (x) なので，
d
5x
y = y dx ln y = 5x (ln x + 1)．
3. テーラー展開
次の関数 f (x) の x = 0 における 2 次までのテーラー展開を求めなさい．ただし，a, b は正の定
数とする．
f (x) = ln(a + bx)
解答：
f (x) =
b
a+bx , f (x)
2
b
1 2
= − (a+bx)
2 と計算できるので， y = f (0) + f (0)x + 2 f (0)x + · · · は，
b2
b
ln(a + bx) = ln a + x − 2 x2 + · · · .
a
2a
(以上)

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