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平成 24 年度応用数学Ⅱ 中間試験問題
以下、設問 1～3 に答えよ。本試験は 50 点満点とする。
【設問 1】
（計 10 点）
次の微分方程式を与えられた初期条件下で解け。
t2
dy
 (5t 2  2t ) y  6t 4
dt
（t=1 において y=1）
【設問 2】
（計 20 点）
図に示すように、水平方向の動きに抵抗するバネ（バネ係数：k）とダッシュポット（粘性
係数：c）につながれた質量 m の剛体の水平運動を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1) この系に外部から力がかからないときの剛体の変位 x を時間 t に関する微分方程式とし
て導け（5 点）。
(2) 4mk-c2>0 とき、(1)で求めた式の一般解を求めよ。ヒント：解は x=Cet の形を仮定し、ま
た Euler の公式（ ei  cos  i sin  ）を使うことで実数形式で求められる（5 点）。
(3) 時間 t=0 において x=x0 かつ dx/dt=0 という初期条件のもと、(2)で求めた一般解の係数を
決定して最終的な解を示せ。また、そのようにして求められた解に示される x の変化を t に
対して定性的に図示せよ（10 点）。
x
k
m
c
【設問 3】
（計 20 点）
物体 1 と物体 2 が触れ合っており、物体 1 の単位時間あたりの温度上昇量は、k×（物体 2
の温度－物体 1 の温度）で表わされるとする。このとき、以下の設問に答えよ。
(1) 物体 2 の温度が T2 として一定のとき、時間 t における物体 1 の温度 T(t)を求めよ。ただ
し、時間 t=0 において物体 1 の温度は T0（ただし T2<T0）とする。また、求めた T を t に対
して図示せよ（10 点）。
(2) 物体 2 の温度が at として、時間に比例して上昇していくとき、時間 t における物体 1 の
温度 T(t)を求めよ。ただし、時間 t=0 において物体 1 の温度は T0（ただし 0<T0）とする。ま
た、求めた T を t に対して図示せよ（5 点）。
(3) 物体 2 の温度が T2+at として、時間に対して線形に上昇していくとき、時間 t における
物体 1 の温度 T(t)を求めよ。ただし、時間 t=0 において物体 1 の温度は T0（ただし T2<T0）
とする。また、求めた T を t に対して図示せよ（5 点）。

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