9 フーリエ変換の性質

大阪大学基礎工学部 2014 年度後期数学 C 講義ノート
9 フーリエ変換の性質
命題 9.1 (線形性). R 上絶対可積分な関数 f, g と実数 a, b に対し，
F[af + bg](ξ) = aF[f ](ξ) + bF[g](ξ).
証明.
∫
1
F[af + bg](ξ) = √
2π
∞
(af (x) + bg(x)) e−xξ dx
−∞
∫ ∞
∫ ∞
1
1
f (x)e−ixξ dx + b · √
g(x)e−ixξ dx
=a· √
2π −∞
2π −∞
= aF[f ](ξ) + bF[g](ξ).
命題 9.2. 関数 f = f (x) は R 上で絶対可積分かつ微分可能で，f ′ も R 上絶対可積分であるとする．さらに
limx→±∞ f (x) = 0 を仮定する．このとき
F [f ′ ] (ξ) = iξF[f ](ξ).
証明.
1
F [f ′ ] (ξ) = √
2π
1
=√
2π
1
=√
2π
∫
∞
f ′ (x)e−ixξ dx
−∞
∫
lim
′
R,R →∞
lim
′
1
= 0 + iξ √
2π
= iξF [f ] (ξ).
∫
f ′ (x)e−ixξ dx
−R′
[
R,R →∞
R
f (x)e−ixξ
∞
]R
−R′
1
−√
2π
∫
lim
′
R,R →∞
R
f (x)(−iξ)e−ixξ dx
−R′
f (x)e−ixξ dx
−∞
命題 9.3. 関数 f = f (x) は R 上絶対可積分とし，さらに xf (x) も R 上絶対可積分であるとする．このとき，
F [xf (x)] (ξ) = i
Version 2: 誤植などを訂正しました．（2014/12/16 更新）
1
d
F[f ](ξ).
dξ
証明.
∫ ∞
1
F [xf (x)] (ξ) = √
xf (x)e−ixξ dx
2π −∞
∫ ∞
1
d ( −ixξ )
=√
f (x)i
e
dx
dξ
2π −∞
)
(
∫ ∞
d
1
−ixξ
√
f (x)e
dx
=i
dξ
2π −∞
d
= i F[f ](ξ).
dξ
命題 9.4. 関数 f = f (x) は R 上絶対可積分とする．実数 a を一つとり，g(x) = f (x − a) とおく．このとき，
F[g](ξ) = e−iaξ F[f ](ξ).
証明. x − a = y と変数変換すると，
∫ ∞
1
F[g](ξ) = √
g(x)e−ixξ dx
2π −∞
∫ ∞
1
=√
f (x − a)e−ixξ dx
2π −∞
∫ ∞
1
=√
f (y)e−i(y+a)ξ dy
2π −∞
∫ ∞
1
f (y)e−iyξ dy
= e−iaξ √
2π −∞
= e−iaξ F[f ](ξ).
次に，たたみこみとフーリエ変換の関係について考える．関数 f, g に対して，f と g のたたみこみを
∫
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f (x − y)g(y)dy
で定義する．x − y を y と変換すれば明らかなように，
∫
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f (y)g(x − y)dy = g ∗ f (x)
が成立する．
命題 9.5. 関数 f, g は R 上絶対可積分とする．このとき，
F[f ∗ g](ξ) =
√
2π fˆ(ξ)ˆ
g (ξ).
2
証明.
∫ ∞
1
F[f ∗ g](ξ) = √
f ∗ g(x)e−ixξ dx
2π −∞
)
∫ ∞ (∫ ∞
1
f (x − y)g(y)dy e−ixξ dx
=√
2π −∞
−∞
)
∫ ∞ (∫ ∞
1
−ixξ
=√
f (x − y)e
dx g(y)dy
2π −∞
−∞
)
∫ ∞(
∫ ∞
1
−i(x+y)ξ
√
=
f (x)e
dx g(y)dy
2π −∞
−∞
(
)
∫ ∞
∫ ∞
√
1
1
−ixξ
√
= 2π · √
f (x)e
dx g(y)e−iyξ dy
2π −∞
2π −∞
√
= 2π fˆ(ξ)ˆ
g (ξ).
命題 9.6 (プランシュレルの等式). 関数 f (x) は絶対可積分かつ２乗可積分とする．このとき，
∫
∞
−∞
∫
|f (x)| dx =
2
∞
2
fˆ(ξ) dξ.
−∞
証明. まず g(x) = f (−x) とおくと，gˆ(ξ) = fˆ(ξ) が成立する．実際，−x = y と変数変換すると，
1
gˆ(ξ) = √
2π
∫
∞
f (−x)e−ixξ dx =
∫
−∞
∫
∞
−∞
ここで，命題 9.5 より，
F[f ∗ g](ξ) =
√
∞
f (y)eiyξ dy =
f (y)e−iyξ dy = fˆ(ξ).
−∞
2
√
2π fˆ(ξ) .
2π fˆ(ξ)ˆ
g (ξ) =
一方，たたみこみの定義から，
∫
∞
−∞
∫
|f (x)| dx =
2
∞
−∞
∫
f (−(0 − x))f (x)dx =
∞
−∞
g(0 − x)f (x)dx = g ∗ f (0)
が成立する．ここで，フーリエの反転公式
1
g ∗ f (x) = √
2π
∫
で x = 0 とおいて，
1
g ∗ f (0) = √
2π
∞
−∞
∫
F[f ∗ g](ξ)eixξ dξ
∞
−∞
F[f ∗ g](ξ)dξ
を得る．以上より，
∫
∞
1
|f (x)|2 dx = g ∗ f (0) = √
2π
−∞
∫
∞
1
F[f ∗ g](ξ)dξ = √
2π
−∞
3
∫
∞
−∞
∫
2
√
2π fˆ(ξ) dξ =
∞
−∞
2
fˆ(ξ) dξ.

Download Report