第8回

平成 26 年度 R 科 3 年次運動制御工学中間テスト
2014 年 11 月 10 日
1. 図１に示すような，倒立振子を考える．
U を求めよ．すなわち，
Z l
TL =
U
0
Z l
=
0
dTL
dU
を，それぞれ求めよ．
(g) 系全体の運動エネルギー T は，T = TB + TL
であることに注意して，Lagrange 形式によ
り，系の運動方程式を求めよ．
ヒント）
µ
図 1: 倒立振子モデル
棒は台車と摩擦のない回転ジョイントで結合され
ている．台車の質量を M とし，棒の長さおよび
質量を，それぞれ l,m とする．また，棒の鉛直線
からの傾斜角を θ とし，台車の水平位置を x とす
る．さらに台車を駆動する水平方向の入力を u と
する．このとき，以下の問いに答えよ．
（各問 10 点）
(a) 速度 v で運動する質量 µ の物体の運動エネ
ルギーは， 12 µv 2 で与えられる．台車の運動
エネルギー TB を求めよ．
¶
d ∂L
−
dt ∂ x˙
µ
¶
d ∂L
−
dt ∂ θ˙
∂L
=u
∂x
∂L
=0
∂θ
(h) 棒の倒れ運動および台車の移動速度は微小と
して，系の運動方程式を線形化せよ．すなわ
ち，
θ ¿ 1, θ˙ ¿ 1, x˙ ¿ 1
である．
(i) 線形化された系の運動方程式を，状態変数 X
を以下として状態空間表現に直せ．
"
(b) 棒の長さが l であり，質量が m であること
から，棒の線密度を求めよ．
X=
θ˙
θ
#
(c) 棒の根元（回転ジョイント部）から ξ の位置
にある微小要素（長さ dξ ）の質量を求めよ．
すなわち，
(d) 微小要素（長さ dξ ）の運動エネルギー dTL
を求めよ．
の形式を用いて系の運動方程式を表せ．
(e) 鉛直方向座標が y の位置にある質量 µ の物
体の，重力によるポテンシャルエネルギーは，
重力加速度の大きさを g として µgy で表わさ
れる．これを基にして，微小要素（長さ dξ ）
の重力によるポテンシャルエネルギー dU を
求めよ．
(f) 微小要素の運動エネルギー dTL およびポテ
ンシャルエネルギー dU を ξ について 0 から
l まで積分することにより，棒全体の運動エ
ネルギー TL およびポテンシャルエネルギー
X˙ = AX + Bu
(j) 棒を立てるためのフィードバック制御則とし
て，次のような入力を加えるものとする．た
だし，k1 ,k2 は正の定数とする．
u = −k1 θ˙ − k2 θ = −KX
h
K=
i
k1 k2
このとき，状態空間表現による閉ループ系の
システム行列 A − BK の固有値に基づいて，
棒の倒れ運動 ( θ ）が安定となるように，ゲ
イン k1 ,k2 に対する条件を求めよ．

Download Report