B - C-faculty

[2] 集合、場合の数、確率
[2-1] 集合
[2-2] 場合の数
[2-3] 順列と組合せ
[2-4] 確率の基本性質
[2-5] 独立な試行と条件付き試行
[2-1]B 集合
●数学では、例えば、
「４の正の約数の集まり」のよう
に、範囲がはっきりしたものの集まりを集合という。
●集合を構成する１つ１つのものを要素という。
●例えば、
「４の正の約数の集まり」を集合 A とすると、
集合 A の要素は｛1, 2, 4｝と書け、 A  {1, 2, 4} が成
り立つ。
● a が集合 A の要素であるとき、
「 a は集合 A に属する」
といい、 a  A と書く。
●例えば、 2  A であり、 3  A である。
[2-1a]B 集合
●集合の表し方には、要素の代表を x などで表し、
｛｝
の中の縦線の右に、 x の満たす条件を書く方法もあ
る。例えば、
「０より大きく５より小さい実数全体の
集合を B とすると、
B  {x | 0  x  5, x は実数}
●有限個の要素からなる集合を有限集合といい、無限
に多くの要素からなる集合を無限集合という。
● A は有限集合であり、 B は無限集合である。
[2-1b]B 集合
● A のどの要素も B の要素になっている。一般に、
x  A ならば x  B が成り立つとき、「 A は B の部分
集合である」といい、 A  B と表す。
●このとき、
「 A は B に含まれる」あるいは「 B は A を
含む」という。
●２つの集合 A と C の要素が完全に一致しているとき、
A  C であり、 A  C かつ A  C が成り立つ。
●要素が１つもない集合を空集合といい、  で表す。
● A の部分集合は次の８個である。
,{1},{2},{4},{1, 2},{1, 4},{2, 4},{1, 2, 4}
[2-1c]B 集合
●２つの集合 P と Q に対して、P と Q のどちらにも属
する要素全体の集合を、 P と Q の共通部分といい、
P  Q で表す。
●また、 P と Q の少なくとも一方に属する要素全体の
集合を、 P と Q の和集合といい、 P  Q で表す。
● P  Q  {x | x  P かつ x  Q}
P  Q  {x | x  P または x  Q}
[2-1d]B 集合
●ここで、あらゆる集合を含むような非常に多くの要
素をもつ集合を全体集合と呼び U で表すことにする。
● U の部分集合 P に対し、P に属さない U の要素全体
の集合を、U に関する P の補集合といい、P で表す。
●このとき以下が成り立つ。
U  , P  P  , P  P  U , P  P
●ド・モルガンの法則
P Q  P Q, P Q  P Q
[2-1e]B 集合
●集合 A の要素の個数が有限であるとき、その個数を
n (A) で表す。 n ()  0 である。
●全体集合を U とすると n ( A )  n (U )  n ( A) が成立。
●また、 n ( A  B)  n ( A)  n ( B)  n ( A  B) も成立。
●集合の応用を考えるときには以下のベン図を用いる。
U
A
B
[2-2]B 場合の数
[例題 1]
毎年秋に行われるプロ野球のクライマックスシリー
ズのファーストステージは、リーグ３位チームと２
位チームが戦って、先に２勝したチームがファイナ
ルステージに進むことになっている。リーグ３位チ
ームが勝ちあがるケースは何通りか？ただし、引き
分けはないものとする。
[2-2a]B 場合の数
[解答１]下図のとおり３通り。
１試合目　２試合目　３試合目　○
×
●上図を樹形図という。
○
×
○
○
○
[2-2b]B 場合の数
●和の法則：
事象 A と事象 B の起こり方に重複はないとき、A の
起こり方が a 通りあり B の起こり方が b 通りあれば、
A または B の起こる場合は a+b 通りある。
●積の法則：
事象 A の起こり方が a 通りあり、そのどの場合に対
しても事象 B の起こり方が b 通りであれば、A が起
こり、そして B が起こる場合は a×b 通りある。
[2-2c]B 場合の数
[例題 2]大小２個のさいころを投げたとき目の和が 5 の
倍数になるのは何通りか？
[解答 2]まず目の和が 5 になるのは(1,4), (2,3), (3,2),
(4,1)の 4 通り。10 になるのは(4,6), (5,5), (6,4)の３
通り。なので、合計、7 通り。←和の法則
[例題 3]大小２個のさいころを投げたとき全ての目が
奇数である場合は何通りか？
[解答 3]各さいころの出方は３通り。全ての目が奇数で
ある場合は 3×3 で 9 通り。←積の法則
[2-3]B 順列と組合せ
●３個の数字 1,2,3 から２個を取り出して並べてでき
る２桁の整数は何個か？
●十の位にくる数字は３通りで、一の位にくる数字は
２通りなので、６個の整数（12,13,21,23,31,32）が
できる。
●このように、異なる n 個のものから異なる r 個を取
り出して並べる順列の総数を n Pr とすると、
n
Pr  n(n  1)(n  r  1)
[2-3a]B 順列と組合せ
●特に、異なる n 個の全てを並べる順列の総数は
n
Pn  n(n  1)1  n!
n!
●したがって、 n Pr 
も成り立つ。
(n  r )!
● n! を n の階乗という。
●定義上、 n P0  1, 0! 1 とする。
[2-3b]B 順列と組合せ
●ものを円形に並べる順列を円順列という。
●たとえば、1,2,3 も 2,3,1 も同じ円順列である。
●異なる n 個の円順列の総数は (n  1)!となる。
●異なる n 個のものから重複を許して r 個を取って並
べる順列を重複順列といい、そのような順列の総数
r
は n 通りある。
[2-3c]B 順列と組合せ
●３個の文字 a,b,c から、異なる２個を取り出して文字
の組を作るとき、次のような組が作れる。
{a,b}, {a,c}, {b,c}
●このように、ものを取り出す順序を無視した組を作
るとき、これらの１つ１つを組合せという。
●異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して作る
組合せの総数を n Cr とすると、
Pr n(n  1) (n  r  1)

が成立。
n Cr 
r!
r (r  1) 1
n
[2-3d]B 順列と組合せ
●このとき以下が成り立つ。
n!
, n C1  n, n Cn  1,
n Cr 
r!(n  r )!
n
C0  1, n Cr n Cn  r .
[2-3e]B 順列と組合せ
[例題 4]男子４人、女子３人の中から３人を選んで組を
作るとき、女子が少なくとも１人は含まれる組は
何通りか？
7 65
[解答 4]７人から３人の選び方は 7 C3 
 35
3  2 1
選ばれた３人が全て男子である選び方は 4 C3  4
したがって、 35  4  31.
[2-3f]B 順列と組合せ
[例題 5] ５人を次のように分けるとき、分け方は何通
りあるか。(1) ２人部屋 A, B と、１人部屋 C の３
部屋に分ける。(2) ２人、２人、１人に分ける。
[解答 5] (1) 部屋 A の２人を決める→ 5 C2 通り。残りの
３人から２人を選んで部屋 B にする→ 3 C2 通り。
残り１人は自動的に部屋 C になる。したがって、
5
C2 3 C2  30
(2) 部屋 A, B の区別をなくすと組合せは半分の
15 通りになる。
[2-3g]B 順列と組合せ
[例題 6] a が３個、b が２個、c が１個あるとき、これ
ら６個を１列に並べる順列は何通りあるか。
[解答 6] ６個の中から a を並べる組合せは 6 C3 通り。
残り３個の中から b を並べる組合せは 3 C2 通り。
残りは c に自動的に割り振られるから、
6
C33 C2  60
[2-4]A 確率の基本性質
●試行：同じ条件のもとで繰り返すことができる実験
や観測のこと。例えば、さいころを投げる。
●事象：試行の結果として起こる事柄。
●事象 A の確率：
事象Aの起こる場合の数
P( A) 
起こりうる全ての場合の数
●例えば、１個のさいころを投げるとき偶数の目が出
る確率は 0.5 だが、どの目が出るかは同様に確から
しいことを前提にしている。
[2-4a]B 確率の基本性質
●事象と集合は区別せず用いる。
● A と B の積事象→ A と B がともに起こる事象
→ A B
● A と B の和事象→ A または B が起こる事象
→ A B
●２つの事象 A と B が同時に起こらないとき、A と B
は互いに排反事象であるという。
●空集合  で表される事象を空事象という。
[2-4b]B 確率の基本性質
●どのような事象 A についても、 0  P( A)  1
●事象 A と B が互いに排反であるとき、
P( A  B)  P( A)  P( B)
←加法定理
●事象 A と B が互いに排反でないとき、
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
●事象 A の余事象を A とすると、
P( A)  P( A )  1
[2-4c]B 確率の基本性質
[例題 7]１から５までの番号札を、でたらめに横１列に
並べたとき、両端のいずれかが偶数である確率
を求めよ。
[解答 7]全ての場合の数は 5! = 120
両端ともに奇数である場合の数は 3 P2  3! 36
したがって、(120-36)/120 = 0.7
[別解]左端が偶数である確率は 2×4!/120 = 0.4 で、右
端が偶数である確率も 0.4。両端が偶数である確
率は 2×3!/120 = 0.1。
したがって、2×0.4－0.1 = 0.7。
[2-5]B 独立な試行と条件付き試行
●独立な試行：どの試行の結果も他の試行の結果に影
響を与えないような試行。
（例として２人がさいころをふるとき）
●独立な試行の確率：２つの試行が独立であるとき、
一方で事象 A が起こり、他方で事象 B が
起こる確率 p は p  P( A)  P( B)
[2-5a]B 独立な試行と条件付き試行
[例題 8]A の袋には赤玉２個と白玉３個、B の袋には赤
玉４個と白玉１個が入っている。２つの袋から１
個ずつ玉を取り出すとき、同じ色の玉を取り出す
確率を求めよ。
2 4 8
[解答 8]どちらとも赤玉である確率は
 
5 5 25
3 1 3
どちらとも白玉である確率は
 
5 5 25
これら２つの事象は排反するから答は
8
3 11


25 25 25
[2-5b]B 独立な試行と条件付き試行
●反復試行：同じ条件のもとでの試行の繰り返し
●１回の試行で事象 A の起こる確率を p とする。この
試行を n 回行う反復試行で、 A がちょうど r 回起こ
る確率は n Cr p (1  p)
r
nr
[2-5c]B 独立な試行と条件付き試行
[例題 9]サイコロを３回ふったとき、３の倍数の目が出
る回数が２回以上である確率を求めよ。
[解答 9]３の倍数の目が２回出る確率は
2
1  2 2
3 C2     
 3  3 9
３の倍数の目が３回出る確率は
3
1
1
  
 3  27
2 1
7
したがって、 

9 27 27
[2-5d]B 独立な試行と条件付き試行
●事象 A が起こったとして、そのときに事象 B の起こ
る確率を、 A が起こったときの B が起きる条件付き
確率といい、 PA (B) で表し、次式が成り立つ。
P( A  B)
n( A  B )
したがって、 PA ( B) 
PA ( B) 
n( A)
P( A)
●さらに、２つの事象 A, B がともに起こる確率
P( A  B)  P( A) PA ( B)
←確率の乗法定理
[2-5e]B 独立な試行と条件付き試行
[例題 10]当たりくじ３本を含む８本のくじを、A, B の
２人がこの順に１本ずつ引く。このとき、引い
たくじはもとに戻さない。このとき、B が当た
る確率を求めよ。
[解答 10]A が当たり B が当たる事象と A がはずれ B が
当たる事象の和事象である。A が当たって B も当
3 2 3
たる確率は  
。 A が外れて B が当た
8 7 28
5 3 15
3 15 3
 。
る確率は  
。したがって、 
8 7 56
28 56 8
[2-5f]C 独立な試行と条件付き試行
●ベイズの定理
複数の原因となる事象 H i (i  1,2,..., n) の結果として
事象 A が起きる場合を考える。H i は互いに排反であ
り、これ以外に原因はないとする。乗法定理から
P( H i  A) P( H i ) P( A | H i )
が成立。
P( H i | A) 

P( A)
P( A)
P( H i ) を事前確率、 P( H i | A) を事後確率という。
このように、先見的に決めた事前確率を実データに
より修正（日本統計学会編「統計学基礎」90 頁）

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