解 数学検定 第２５０回２級２次：数理技能検定 問題１ f（x ）＝−x 2 ＋４mx −１２m ＋６ 2 ＝−（ x −２m ）＋４m 2 −１２m ＋６ したがって g（ m ）＝４m 2 −１２m ＋６ 答 ２−２−１ ３ よって，g（ m ）は m ＝ のとき，最小値 −３ ２ をとる。 ３ （答） m ＝ のとき，最小値 −３ ２ である。 ３ 2 g （ m ）＝４ m − −３ ２ 問題２ もとの命題の対偶「n が奇数ならば，n 3 ＋１は偶数である」が真であることを示す。 m を正の整数として，n ＝２m −１とする。 3 n 3＋１＝ （２m −１）＋１＝８m3 −１２m2 ＋６m −１＋１ ＝８m3 −１２m2 ＋６m ＝２ （４m3 −６m2 ＋３m ） ４m 3 −６m 2 ＋３m は整数だから，２ （４m3 −６m2 ＋３m ）は偶数となり，対偶は真である。 したがって，もとの命題「n 3＋１が奇数ならば，n は偶数である」は真である。 問題３ ① ′ ，②よ り ⑴ １０ x 2 −２x ＋ k ＝０ sinθ，cosθがこの２次方程式の解である ことから，解と係数の関係により （−２） ２ sinθ＋ cosθ＝− ＝ …① １０ １０ k sinθcosθ＝ …② １０ ①の両辺を２乗すると ２ 2 （ sinθ＋ cosθ）＝ １０ ２ sin2θ＋２sinθcosθ＋ cos 2θ＝ ５ ２ １＋２sinθcosθ＝ ５ ３ sinθcosθ＝ − …① ′ １０ 2 問題４ ３ k ＝ − １ ０ １０ k ＝ − ３ １０ １０ （答） k ＝ − ３ １０ １０ ⑵ ⑴より ３ １０ １０x 2 −２x − ＝０ １０ 2 １０ １０x −２０x −３ １０ ＝０ （１０x ＋ １０） （ １０x −３）＝０ １０ ３ １０ x ＝ − ， １０ １０ １０ ３ １０ （答） x ＝ − ， １０ １０ s，t を実数とし，点Ｐ， Ｑの位置ベクトルをそれぞれ p，q とすると s −１，−２，１）＝（２− s ，−３−２s ，８＋s ） p ＝（２，−３，８）＋ （ t ３，１，−１）＝（４＋３t ，−５＋t ，６− t ） q ＝（４，−５，６）＋ （ と表される。したがって ＰＱ ＝ q − p ＝（２＋ s ＋３t ，−２＋２s ＋ t ，−２−s −t ） 2 2 2 2 ｜ＰＱ｜＝（２＋ s ＋３t ）＋（−２＋２s ＋ t ）＋（−２−s −t ）＝６s 2 ＋１２st ＋１１t 2 ＋１２t ＋１２ ６ 2 ２４ 2 2 ＝６ （ s ＋ t ）＋５ t 2 ＋１２t ＋１２ ＝６ （ s ＋ t ）＋５ t ＋ ＋ ５ ５ ６ ２４ ６ 2 よって，｜ＰＱ｜ は s ＝ ，t ＝ − のとき，最小値 をとる。 ５ ５ ５ このとき ２４ ２ ３０ ＰＱ＝ ＝ ５ ５ （答） ２ ３０ ５ Ｈ２６０８Ｇ０３ ２−２−２ 問題５ ⑴ （答） ８０分 ⑵ （答） ６０分 （解答例） P A B Q D1 R D2 p ＝５０分 C q ＝５０分 D3 E1 E2 r ＝５５分 E3 休憩５分 問題６ ⑴ 出る数の積が偶数になるのは，３回のうち ⑵ 出る数の積が偶数であるが，４の倍数とな 少なくとも１回は偶数が出るときである。 らないのは，３回のうち，２が１回，奇数が ルーレットを１回まわして，出る数が奇数 ２回出る場合である。この確率は となる確率は ３ １０ １ ３ ２ ＋ ＝ ５ ５ ５ 2 ８１ ２５０ ⑴より，求める確率は ルーレットを３回まわして，３回とも奇数 となる確率は ３ ５ 3Ｃ1 × × ＝ ９８ ８１ ２３ − ＝ １２５ ２５０ ５０ ２３ （答） ５０ ２７ ３ 3 ＝ １ ２５ ５ よって，求める確率は １− ２７ ９８ ＝ １２５ １２５ ９８ （答） １２５ 問題７ ⑴ y ＝ −x 2 ＋ ax ＝ −x（ x − a ） （ a ＞０）より y グラフの概形は，右の図のようになる。 したがって a S ＝ （ −x 2 ＋ ax ）dx 0 １ a ＝ − x 3 ＋ x 2 ３ ２ a O a x 0 １ １ １ ＝− a 3 ＋ a 3 ＝ a 3 ３ ２ ６ （答）S ＝ １ 3 a ６ ４ ⑵ S ＝ のとき，⑴より ３ ４ １ a3 ＝ ３ ６ 3 a −８＝０ （ a −２） （ a 2 ＋２a ＋４）＝０ a ＞０より a ＝２ （答）a ＝２ Ｈ２６０８Ｇ０３
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