ベクトル積の3つの性質から，ベクトル積の成分表示を導出

第 0 章数学的準備付録 0.B
ベクトル積の 3 つの性質から，ベクトル積の成分表示を導出
担当：荒井正純
作成： 2015/4/15
２つのベクトル A = (A1 , A2 , A3 ), B = (B1 , B2 , B3 ) に対して，以下の 3 つの性質を満たすベクトル
C = (C1 , C2 , C3 ) の成分 (0.10) を求める．
(i) C は A にも B にも垂直である．
(ii) C の大きさは，A, B で張られる平行四辺形の面積 AB sin θ に等しい．
(iii) C の向きは，A から B に右ネジを回した時，ネジの進む向きで定義する．
ここで，
A = |A| =
√
A21 + A22 + A23 ,
B = |B| =
√
B12 + B22 + B32
(A0.2)
はそれぞれ A, B の大きさで，θ は A と B のなす角である．このなす角の余弦は，スカラー積の定義より，
A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
A·B
√
(A0.3)
=√ 2
cos θ =
|A| |B|
A1 + A22 + A23 B12 + B22 + B32
である．仮に，ベクトル C の大きさを C とおく．
√
C = |C| = C12 + C22 + C32
(A0.4)
性質 (i) の適用
性質 (i) は，スカラー積を用いて，
A·C =B·C =0
と表される．これを成分を用いて表すと，以下の 2 式となる．
A1 C1 + A2 C2 + A3 C3 = 0
(A0.5a)
B1 C1 + B2 C2 + B3 C3 = 0
(A0.5b)
最初に，C2 , C3 を C1 及び A, B の成分で表すことにする．(A0.5a)×B3 − (A0.5b)×A3 より，
C2 =
A3 B1 − A1 B3
C1
A2 B3 − A3 B2
(A0.6)
が得られる．同様に，(A0.5a)×B2 − (A0.5b)×A2 より，
C3 =
A1 B2 − A2 B1
C1
A2 B3 − A3 B2
(A0.7)
が得られる．ここで，A2 B3 ̸= A3 B2 と仮定した．
(A0.6), (A0.7) を (A0.4) の２乗に代入すると，
[
)2 (
)2 ]
(
A
B
−
A
B
A
B
−
A
B
1
2
2
1
3
1
1
3
+
C12
C2 = 1 +
A2 B3 − A3 B2
A2 B3 − A3 B2
となる．これを C1 について解くと，
C12 =
(A2 B3 − A3 B2
)2
(A2 B3 − A3 B2 )2
C2
+ (A3 B1 − A1 B3 )2 + (A1 B2 − A2 B1 )2
となる．
A1
(A0.8)
性質 (ii) の適用
性質 (ii) は，
C = AB sin θ
と表される．この２乗
C 2 = A2 B 2 sin2 θ = A2 B 2 (1 − cos2 θ)
に (A0.2), (A0.3) を代入すると，

(
C 2 = (A21 + A22 + A23 )(B12 + B22 + B32 ) 1 −
A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
√
√
2
A1 + A22 + A23 B12 + B22 + B32
)2 

となる．これを整理すると，
C 2 = (A2 B3 − A3 B2 )2 + (A3 B1 − A1 B3 )2 + (A1 B2 − A2 B1 )2
(A0.9)
が得られる．(A0.9) を (A0.8) に代入すると，
C12 = (A2 B3 − A3 B2 )2
が得られる．これの平方根を取る．符号は決まらないので，複号は残る．
C1 = ±(A2 B3 − A3 B2 )
(A0.10)
(A0.6), (A0.7) に (A0.10) を代入すると，
C2 = ±(A3 B1 − A1 B3 ),
C3 = ±(A1 B2 − A2 B1 )
が得られる．ここで複号同順である．
以上をまとめると，性質 (i), (ii) を満足する C の成分は，
C = ±(A2 B3 − A3 B2 , A3 B1 − A1 B3 , A1 B2 − A2 B1 ) （複号同順）
(A0.11)
と表される．
性質 (iii) の適用
簡単のため，A は x 軸の正の向きを向く（即ち，A1 > 0, A2 = A3 = 0）
y
とする．又，B は xy 平面上にあり，第 1 象限を向く（即ち，B1 , B2 >
0, B3 = 0）とする．この場合，(A0.11) より得られる C の成分は，
C = ±(0, 0, A1 B2 )
B
(A0.12)
となる．題意より，A1 B2 > 0 であるから，複号のうち + 符号を採用した
場合は +z 向きのベクトル，− 符号を採用した場合は −z 向きのベクトル
となる．ところで，A から B に右ネジを回した時，A と B の位置関係よ
O
x
A
り，ネジは +z 向きに進む．これは (A0.12) の複号のうち + 符号を採用し
た場合に対応する．
従って，性質 (i), (ii), (iii) を満足する C の成分は，(A0.11) の複号のうち + 符号を採用することで，
C = (A2 B3 − A3 B2 , A3 B1 − A1 B3 , A1 B2 − A2 B1 )
と表される．
A2
(0.10)

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