鹿児島大学／愛媛大学宇宙電波天文学特論第５回 Einstein係数とHI輝線半田利弘鹿児島大学大学院理工学研究科物理・宇宙専攻 Mellinger エネルギー準位 ▶ 電子の波動方程式：Schrödinger equation ▶ 定常状態＝エネルギー固有値 ■ 変数分離型 ▶ 定常状態でのSchrödinger equation Mellinger 束縛状態とエネルギー固有値 ▶ 境界条件によって答は変わる ■ ■ E>0だとEは連続値をとることが可能 E<0（束縛状態）だととびとびの値に限定 ▶ 量子力学でも常に離散的とは限らない！ ▶ 多くの場合、束縛状態を考える ■ 固有値・固有関数が離散的になる Mellinger 原子中の電子、分子中の電子 ▶ 原子・分子中の電子 ■ 束縛状態→とびとびのエネルギー固有値 ▶ エネルギー準位 Mellinger エネルギー遷移と物質 ▶ エネルギー準位間で電子が遷移 ■ ■ 電磁波の放射・吸収電磁波の周波数は DE=hn ▶ エネルギー準位の構造＝物質の種類 ■ ■ 放射・吸収する電磁波の波長＝物質の種類スペクトル線による物質の同定 Mellinger アインシュタイン係数(1) ▶ 放射と吸収：２準位モデル ■ 放射の遷移確率 A  入射光強度とは独立 ■ 吸収の遷移確率 B  入射光強度に比例 dI = n2 A-n1 B I Mellinger アインシュタイン係数(2) ▶ 定常状態 dI=0 dI = n2 A-n1 B I  n2 A = n1 B I  I 𝑛2 𝐴 = 𝑛1 𝐵 ▶ 物質と輻射での熱平衡を考える ■ 熱平衡→粒子のエネルギーはBoltzmann分布 𝑛2 𝑛1 ■ = 𝑒 −Δ𝐸/𝑘𝑇 =𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇 熱平衡→Iは黒体放射 I = Bn (T) = ■ 2ℎ𝜈 3 1 𝑐 2 𝑒𝑥𝑝ℎ𝜈/𝑘𝑇 −1 黒体放射になり得ない!? Mellinger 誘導放射(1) ▶ もう１つの過程を加える ■ 気づかれない形で含まれる必要 ▶ 誘導放射の導入 ■ ■ 自発放射の遷移確率 A21、吸収の遷移確率 B12 誘導放射の遷移確率 B21  入射光強度に比例して放射が出る！ dI = n2 A21-n1 B12 I+n2 B21 I = n2 A21-(n1B12-n2B21) I  吸収が目減りするだけなので気づかない Mellinger 誘導放射(2) ▶ 定常状態 dI=0 n2 A21=(n1B12-n2B21) I  I = 𝑛1 𝐴21 𝐵 −𝐵21 𝑛2 12 ■ 熱平衡→粒子のエネルギーはBoltzmann分布 𝑛2 𝑛1 ■ ■ = 𝑒 −Δ𝐸/𝑘𝑇 =𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇 ，右辺 = 𝐴21 1 𝐵21 𝐵12 𝑒𝑥𝑝ℎ𝜈/𝑘𝑇 −1 𝐵21 熱平衡→Iは黒体放射 I = Bn (T) = 比べると、 𝐵12 𝐵21 =1, 𝐴21 𝐵21 = 2ℎ𝜈 3 𝑐2 Mellinger 2ℎ𝜈 3 1 𝑐 2 𝑒𝑥𝑝ℎ𝜈/𝑘𝑇 −1 アインシュタイン係数の関係 𝐵12 𝐵21 =1, 𝐴21 𝐵21 = 2ℎ𝜈 3 𝑐2 ▶ 統計重率g1, g2がある場合 ■ Boltzmann分布 𝑛2 𝑛1 = 𝑔2 𝑔1 𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇 g1B12=g2B21, A21= 2ℎ𝜈 3 𝑐2 B21 ▶ A21、B12 、B21は物質固有量 ■ ■ 係数間の関係式は非平衡でも成立 A21、B12 、B21：アインシュタイン係数 Mellinger メーザー(1) ▶ 誘導放射が実在するなら… dI = n2 A21-(n1B12-n2B21) I  吸収が目減りするだけなので気づかない。はずだが… ▶ n2> (B12/B21) n1とできたらどうなる？ ■ 𝑛2 𝑛1 ■ 負の温度、inverse population = 𝑔2 𝑔1 𝑒 −Δ𝐸/𝑘𝑇 だから、T<0 ▶ 誘導遷移がもろに見える！ Mellinger メーザー(2) ▶ ３準位系なら実現可能 pomping inverse population 種光子 maser Mellinger メーザー(3) ▶ MASER 初の３個以上の原子からなる星間分子 Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation ■ ■ 輻射の誘導放射によるマイクロ波増幅タウンズによって開発された(1954年)  星間アンモニアを発見した人でもある ▶ LASER ■ マイクロ波→光Light ▶ 誘導放射の光子の特徴 ■ 種光子と周波数、位相、偏波方向が同じ Mellinger 励起温度 ▶ 一般の放射時には I= ▶ 熱非平衡： ■ 𝑛1 はBoltzmann分布にならない 𝑛2 でも温度で表せると便利 ▶ 励起温度Tex ■ ■ 2ℎ𝜈 3 𝑛1 −1 2 𝑐 𝑛2 𝑔2 𝑔1 𝑒 −Δ𝐸/𝑘𝑇𝑒𝑥 Tex= - = Δ𝐸 𝑔 𝑛 𝑘 𝑙𝑛 𝑔1 𝑛2 2 1 𝑛2 𝑛1 で定義 Mellinger 放射係数 ▶ 放射係数(emissivity) e をEinstein係数で表す ■ ■ 放射が等方なら… 体積dV, 時間dt, 方向dWへの放射エネルギーdEn dEn =hn j(n) n2 A21 dV dt = ■ ℎ𝜈 4𝜋 j(n) n2 A21 dS dx dt dW 放射のみの場合 Mellinger dIn = ■ すなわち en = 𝑑Ω 4𝜋 ℎ𝜈 4𝜋 𝑑𝐸𝜈 𝑑𝑡 𝑑𝑆 𝑑Ω j(n) n2 A21 =en dx 吸収係数(1) ▶ 吸収係数 k をEinstein係数で表す ■ ■ 吸収が等方なら… 体積dV, 時間dt, 方向dWからの放射エネルギー dEn = -hn j(n) (n1 B12 -n2 B21) In dV dt =■ ℎ𝜈 4𝜋 j(n) (n1 B12 -n2 B21) In dS dx dt dW 吸収のみの場合 Mellinger dIn =■ 𝑑Ω 4𝜋 すなわち kn = ℎ𝜈 4𝜋 𝑑𝐸𝜈 𝑑𝑡 𝑑𝑆 𝑑Ω =-kn In dx j(n) (n1 B12-n2 B21) 吸収係数(2) ■ （承前） ℎ𝜈 kn = 4𝜋 j(n) (n1 B12-n2 B21) ℎ𝜈 𝑔1 𝑛2 = j(n) n1 B12 1− 4𝜋 𝑔2 𝑛1 = = = ℎ𝜈 4𝜋 𝑐2 8𝜋𝜈 2 𝑐2 8𝜋𝜈 2 j(n) 𝐵12 n1 B21 𝐵21 j(n) 𝑔2 n1A21 𝑔1 j(n) 𝑔2 n1A21 𝑔1 − 𝑛2 𝑛1 𝑔1 𝑛2 1− 𝑔2 𝑛1 [1-𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇𝑒𝑥 ] Mellinger 源泉関数 ▶ 源泉関数Sn= Sn = 𝜀𝜈 𝜅𝜈 𝑛2 𝐴21 𝑛1 𝐵12 −𝑛2 𝐵21 = 2ℎ𝜈 3 1 𝑔2 𝑛1 𝑐2 −1 𝑔1 𝑛2 = 2ℎ𝜈 3 1 𝑐 2 𝑒 ℎ𝜈/𝑘𝑇𝑒𝑥 −1 ▶ 熱平衡なら、Tex=T (熱平衡の相手の温度） ▶ 局所熱平衡LTE ■ すべての準位で励起温度が等しい Mellinger 中性水素原子 ▶ 陽子＋電子 ■ ■ 陽子proton スピン1/2の素粒子２値をとる電子electron スピン1/2の素粒子２値をとる  素粒子のスピン＝磁場と関係する  スピン同士で相互作用する A10=2.86888×10-15 [s-1], n =1.420405751786[GHz] Mellinger HI輝線(1) ▶ A10=2.86888×10-15 [s-1]  遷移が遅いので星間ガスの密度で十分に励起  励起すればメーザーになる→水素メーザー時計 ▶ 吸収係数 kn = ■ 𝑐2 8𝜋𝜈 2 j(n) 𝑔1 n0A10 𝑔0 1− 𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇𝑒𝑥 g0=1←縮退なし, g1=3←F=+1,0,-1が縮退 𝑔1 −ℎ𝜈/𝑘𝑇 𝑠 𝑒 𝑔0 ■ nH=n0+n1= n0 1+ ■ HIでは、Tex=Ts（スピン温度）と書く Mellinger HI輝線(2) ▶ ℎ𝜈 ≪ 𝑘𝑇𝑠  ■ ■ 1で近似してよい ℎ𝜈 𝑘 =0.07 [K]≪Ts~100 [K] １次近似  1-𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇𝑠 ≅  nH= n0 𝑔1 𝑔0 kn = 𝑐2 1+ 3 8𝜋𝜈 2 4 ℎ𝜈 𝑘𝑇𝑠 𝑒 −ℎ𝜈/𝑘𝑇𝑠 =4n0 ℎ𝜈 nH A10 𝑘𝑇𝑠 Mellinger j(n) 𝑛𝐻 -15 =2.6×10 𝑇𝑠 j(n) [cgs] HI輝線(3) ▶ 柱密度は定義により ■ NH=∫nH dx = 1 2.6×10−15 ∫ Tstn dn [cgs] ▶ 光学的に薄ければTB= Ts(1-e-t)= Tstn ■ NH= 1 2.6×10−15 ∫ TB dn [cgs] 𝜈 𝑐 ▶ ドップラー効果換算のdn = dvを使うと NH[cm-2]=1.8224×1018 ∫ TB dv [K km s-1] ▶ 注意：上式の成立条件 ■ 光学的に薄い Mellinger 自然幅j(n)の１つの解釈 ▶ 量子遷移が起こる時間 Dt ■ ■ 0ではない ∵波である電磁波が出ている ∞ではない ∵有限時間で遷移が完了する ▶ 徐々に強まり、徐々に弱くなるはず ▶ フーリエ変換すると幅ができる波粒子波束wave packet Mellinger レポート ▶ 電子メール添付。締切11/13 ■ [email protected]まで ▶ 課題 1. Einstein係数の関係式を導け 2. 中性水素原子１個が遷移する平均時間は？ Mellinger