問題・略解

システム制御理論 I
H26/7/14 演習４
自習用参考問題／提出不要
[1] システム
0 2
1 −1
x˙ =
x+
A
1
1
1
0
u+
B
w,
y=
x
1 0
C
Bw
a, t ≥ 0
とする．
0, t < 0
1. xw を状態変数とする入力のない状態方程式 x˙ w (t) = Aw xw (t), w(t) = Cw xw (t) の，初期状態 xw (0) = a
に対する出力 w(t) が上記のステップ信号となるように Aw , Cw を定めよ．
T
2. xa = [ xT xT
w ] を状態変数とするシステムの状態方程式を記せ．
T
T T
3. xa = [ x
xw ] の推定 xˆa を与えるオブザーバ（外乱推定オブザーバ）
を考える．ただし w はステップ幅 a が未知のステップ信号 w(t) =
xˆ˙a (t) = Aa xˆa (t) + Ba u(t) − La ye (t),
yˆ(t) = Ca x
ˆa(t),
ye (t) = yˆ(t) − y(t)
を構成する．このために，ゲイン La を，誤差系の極が −1（3 重根）となるように定めよ．
[2] つぎのシステムに対して，教科書 (8.33) 式の最小次元オブザーバを構成する．
x˙ =
1
2
1
1
x+
A
0
1
u,
y=
1 −1
x
C
B
1. (8.34) 式の誤差系が ξ˙2e = −ξ2e となるように L を定めよ．
y
2. y(= ξ1 ) および ξ2 の推定 ξˆ2 を用いて x
ˆ = T −1 ˆ
とおくと， lim (ξˆ2 (t) − ξ2 (t)) = lim ξ2e (t) = 0
t→∞
t→∞
ξ2
y(t)
0
ξ1 (t)
= T −1 lim
= 0 が成り
−
ξ2 (t)
t→∞
ξ2e (t)
ξˆ2 (t)
立ち，x
ˆ は x の推定となる．本問において，(8.33) 式と上記の xˆ の定義式を整理し，最小次元オブザー
バの状態方程式を
となるので lim (ˆ
x(t) − x(t)) = lim T −1
t→∞
t→∞
z˙ = M1 z + M2 y + M3 u,
xˆ = N1 z + N2 y
の形に整理せよ．
[3] a, b を実数とする．つぎの連続時間システムおよび離散時間システムを考える．
x(t)
˙
=
a
−b
b
a
x(t),
a
−b
x[k + 1] =
b
a
x[k]
それぞれのシステムが安定となるための a, b の条件を求めよ．
[4] つぎの離散時間システムを考える．
⎤
⎤
⎡
⎡
0
0 0 1
x[k + 1] = ⎣ −1 1 1 ⎦ x[k] + ⎣ 1 ⎦ u[k],
1
0 2 0
A
y[k] =
1 a
0
x[k]
C
B
1. このシステムが可制御であることを示せ．
⎤
⎤
⎡
⎡
1
2
2. 初期状態が x[0] = x0 = ⎣ 2 ⎦ のとき，x[3] = ⎣ 2 ⎦ とする入力 u[0], u[1], u[2] を求めよ．
3
2
3. このシステムが可観測となるための a の条件を示せ．
4. a = −2 とする．入力が u[k] = 0, k = 0, 1, 2, . . . であるとき，出力が y[k] = 0, k = 0, 1, 2, . . . となる初
期状態 x[0] を示せ．
[5] つぎの連続時間システムに対するサンプル値システムを求めよ．
x(t)
˙
=
−1
0
1
−2
A
x(t) +
1
1
B
u(t),
y(t) =
1
0
x(t)
C
ただしサンプラ，ホルダはそれぞれ yˆ[k] = y(kT ), u(t) = u
ˆ[k], t ∈ [kT, (k + 1)T ) (k = 0, ±1, ±2, . . . ) であ
り，サンプル間隔を T = 1 とする．
システム制御理論 I
[1]
1. Aw = 0, Cw = 1.
演習４
H26/7/14 略解 ⎡ ⎤
⎤
1
0 2 1
A Bw Cw
⎢ ⎥
⎢
⎥
2. Aa =
= ⎣ 1 −1 0 ⎦, Ba = ⎣ 1 ⎦, Ca = [ 1 0 0 ].
0
Aw
0
0 0 0
3. 通常のオブザーバと同様にすればよい．まず可観測正準形を導く座標変換 ξ = T x を求める．
Aa の特性多項式は det(sI − Aa ) = det(sI − A) det(sI − Aw ) = s3 + s2 − 2s （Aa がブロッ
ク三角行列であることより）．a0 = 0, a1 = −2, a2 = 1. これより
⎤⎡
⎡
⎤ ⎡
⎤⎡
⎤ ⎡
⎤
Ca
a1 a2 1
−2 1 1
1 0 0
0 0 1
⎥⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥
T = W MO = ⎣ a2 1 0 ⎦ ⎣ Ca Aa ⎦ = ⎣ 1 1 0 ⎦ ⎣ 0 2 1 ⎦ = ⎣ 1 2 1 ⎦ .
Ca A2a
1 0 0
1 0 0
2 −2 0
1 0 0
⎡
⎤
1
1 ⎥ となり，ξ˙ = A˜
1
˜x + Bu,
˜ y = Cξ,
˜ ただし
2 −2 ⎦
0 0
⎡
（なお，MO は正則である．
）T −1
0
⎢ 1
= ⎣ −2
1
0
⎡
A˜ = T AaT −1
⎤
0 0 0
⎢
⎥
= ⎣ 1 0 2 ⎦,
0 1 −1
⎡
⎤
0
⎥
˜ = T Ba = ⎢
B
⎣ 3 ⎦,
1
C˜ =
0 0 1
⎡
⎡
⎤
⎤
˜l0
0 0
−˜
l0
⎥
⎥
˜=⎢
˜ C˜ = ⎢
となることが確かめられる．T La = L
2 − ˜l1 ⎦ であ
⎣ ˜l1 ⎦ とおくと A˜ − L
⎣ 1 0
˜l2
0 1 −1 − ˜l2
3
˜ C))
˜ = s + (˜l2 + 1)s2 + (˜l1 − 2)s + ˜
るから，ϕe (s) = det(sI − (Aa − La Ca )) = det(sI − (A˜ − L
l0
3
3
2
T
˜
となる．これが (s + 1) = s + 3s + 3s + 1 に一致すればよいので L = [ 1 5 2 ] が得ら
˜ = [ 2 1 1 ]T となる．
れる．元の座標では La = T −1 L
[2]
1. この問題では n = 2, p = 1 である．N =
T =
1
−1
1/2 1/2
, T −1 =
て結果は異なる．
）ξ =
A11 A12
A21 A22
ξ1
ξ2
= T AT −1 =
1/2 1
−1/2 1
1
1
とし，式 (8.30) を用いて T を求めると
で，CT −1 =
1 0
となる．
（注：T の選択によっ
= T x とおくと（ξ1 ∈ Rp = R1 , ξ2 ∈ Rn−p = R1 である），
−1/2 −1
1/4 5/2
,
B1
B2
= TB =
−1
1/2
, CT −1 =
1 0
1
1
5
1
より ξ˙1 = − ξ1 − ξ2 − u, ξ˙2 = ξ1 + ξ2 + u, y = ξ1 を得る．(A12 , A22 ) = (−1, 5/2) は可
2
4
2
2
観測である．また (8.34) 式は ξ˙2e = (A22 − LA12 )ξ2e より L = −7/2 とすればよい．
2. M1 = A22 − LA12 = −1, M2 = (A21 − LA11 ) + L(A22 − LA12 ) = 2, M3 = B2 − LB1 = −3,
0
1
I
−3
z − 3y
=
, N2 = T −1
=
. z˙ = −z + 2y − 3u, x
ˆ=
N1 = T −1
I
1
L
−4
z − 4y
となる．
a b
の固有値は s = a ± jb. 連続時間システムでは安定 ⇐⇒ Res < 0 より条件は
−b a
a < 0. 離散時間システムでは安定 ⇐⇒ |s| < 1 より条件は a2 + b2 < 1.
[3] A =
⎡
[4]
⎤
0 1 2
⎢
⎥
1. MC = B AB A2 B = ⎣ 1 2 3 ⎦, det MC = −1. よってシステムは可制御．
1 2 4
⎡
⎤
u[2]
⎢
⎥
2. x[3] − A3 x[0] = B AB A2 B ⎣ u[1] ⎦ より u[0] = −1, u[1] = −4, u[2] = 4.
u[0]
⎡
⎤ ⎡ MC
⎤
C
1
a
0
⎢
⎥ ⎢
⎥
3. MO = ⎣ CA ⎦ = ⎣ −a
a
1 + a ⎦, det MO = −(a + 1)2 (a + 2). よって a = −1 か
CA2
−a 3a + 2
0
つ a = −2 のときシステムは可観測．
4. u[k] = 0, k = 0, 1, 2, . . . のとき，出力は y[k] = CAk x[0], k = 0, 1, 2, . . . となる．特に，
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
1 −2 0
y[0]
C
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
(a = −2 の場合)
⎣ y[1] ⎦ = ⎣ CA ⎦ x[0] = MO x[0] = ⎣ 2 −2 −1 ⎦ x[0]
2
2 −4 0
y[2]
CA
⎡
⎤
2
⎢ ⎥
である．これが 0 になるという条件を満たす x[0] は x[0] = c ⎣ 1 ⎦（ただし c は任意の実数）
2
である．さらに，ケーリー・ハミルトンの定理より，A が n 次の行列であり，CAk x[0] = 0,
k = 0, 1, . . . , n − 1 であれば CAk x[0] = 0, k = n, n + 1, . . . も成り立つ (※）．いま n = 3 で
あるから，上に示した x[0] に対して y[k] = 0, k = 0, 1, 2, 3, 4, . . . となる．
※ ケーリー・ハミルトンの定理より，n 次の行列は特性多項式 det(sI − A) = sn + an−1 sn−1 +
· · · + a1 s + a0 に対して An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I = 0 を満たす．いま，n = 3 で
あるから，CA3 x[0] = −a2 CA2 x[0] − a1 CAx[0] − a0 Cx[0] = 0, CA4 x[0] = −a2 CA3 x[0] −
a1 CA2 x[0] − a0 CAx[0] = 0, . . . が順に示される．
・不可観測なシステムでは，このように同じ入力・異なる初期状態に対して同じ出力が生じる．
したがって，入出力から初期状態を一意に決定することは不可能である．
[5] eAt = L−1 {(sI−A)−1 } =
3
2
+ 12 e−2
1 −1
2e
− 2e−1
1
2
−
e−t e−t − e−2t
0
e−2t
, Cˆ = C =
1 0 .
, Aˆ = eAT =
e−1 e−1 − e−2
0
e−2
ˆ=
. B
T
0
eAt Bdt =

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