線形代数学 I–2 行列の分割 Jacques Garrigue, 2014 年 4 月 11 日分割計算や証明を簡単にするために, 行列を縦横に小さな行列に分割することができる. 各行列の幅と高さが縦と横で揃っていなければならない.    A=   A11 A12 A21 A22 ... ... As1 As2 . . . A1t . . . A2t ... ... . . . Ast  各行の高さ : 各列の幅 : Aij : A:        [ ] 2 3 0   A A 11 12 例  0   1 −2 = A 221 A22 5 3 −9 分割行列の和と差 [ 2 3 1 −2 A11 = [ , A12 = 0 0 ] , A21 = [5 3], A22 = [−9] 同じように分割されている二つの行列の和と差は小行列ごとにすればいい. [Aij ] − [Bij ] = [Aij − Bij ] [Aij ] + [Bij ] = [Aij + Bij ] 分割行列の積きる. ] m1 , m 2 , . . . , ms n1 , n 2 , . . . , nt mi × nj 型 ∑ ∑ mi × nj 型 A の横の分割と B の縦の分割が同じならば, A と B の積を小行列ごとに行うことがで AB = [Aij ][Bjk ] = [Cik ] Aij : mi × nj 型例例 Bjk : nj × rk 型 Cik = Ai1 B1k + . . . + Ait Btk : mi × rk 型 A1 , B1 が m 次正方行列, A2 , B2 が n 次正方行列ならば [ A1 O O A2 A が m × n 行列のとき [ [Em | −A] ベクトル分割ができる. ][ A En B1 O O B2 ] [ = A1 B1 O O A2 B2 ] ] = Em A − AEn = A − A = Om,n A が m × n 行列ならば, それを m 個の行ベクトルか n 個の列ベクトルに分割すること   r1  .  .  A = [ c1 | . . . | cn ] =   .  rm [ 例 1 2 3 4 ] [ = [ c1 | c2 ] = ベクトル分割による積の表現  r1 r2 ] [ c1 = 1 3 ] [ , c2 = 2 4 ] r1 = [1 2], r2 = [3 4], A が m × n 行列, B が n × r 行列のとき    a1 a 1 b1 . . . a 1 br  .      AB =  ..  [ b1 | . . . | br ] = [ai bk ]m×r =  . . . ... ...  a m b1 . . . a m br am 1