線形代数学第２章行列平成１６年０６月１０日発表者：藤村元彦行列の演算行列間には次の3種類の演算が考えられる。１．スカラー乗法任意の(m,n)行列A=(aij)と、任意のスカラーλに対し、 λA=(λaij) と定義される。２．和同じ型の(m,n)行列、 A=(aij) 、 B=(bij)に対し、 A +B= (aij+bij) と定義される。３．積 (l,m)行列A=(aij)と、(m,n)行列B=(bｊｋ)の間にC=A・ Bとして、  m  cik     a ij b jk   と定義される。 j 1  行列の演算２全ての成分が0の行列を零行列といい、以下のクロネッカーのデルタ 1 0  ij   i  j  i  j  i, j  1,, n で表される、行列I＝(δij)を単位行列という。 AB=BA=Iをみたす正方行列BがあればBをAの逆行列といい、A-1で表し、Aは正則であるという。 (m,n)行列A=(aij)と、(n,m)行列B=(bji)の間に、aij=bjiのように行列の行と列を転置させた関係をもつ行列Bを、Aの転置行列といいATで表す。写像としての行列 (m,n)行列Aが与えられた時、(n,1)行列xをn次元の列ベクトルと同一視して、Aの右からかけると、その結果として (m,1)行列yが、すなわちm次元列ベクトルを得る。これはKn からKmへの写像を表わすと考えられる。 y=A・x この写像は、基本的な演算＋と・(スカラー倍)とを移った先の集合でもそのまま保存する、という性質を持っている。写像がこの性質をもつとき、線形であるという。写像としての行列２ KnからKmへの線形写像φ1、φ2があるとき、その和φ1＋φ2 を次のように定める。 Knの任意のベクトルxに対し、 (φ1＋φ2） (x) ＝ φ1(x) ＋φ2(x) また、線形写像φのスカラー倍λφは、 (λφ） (x) ＝ λ(φ(x) ) と定める。 KnからKmへの線形写像φとそれに対応する行列Aとは別の概念であるが、数ベクトルの空間を考える限り区別することはあまり意味がないので、写像Aというような言い方をすることもある。線形写像の簡単な性質 φをKnからKmへの線形写像するとき、その和 φ(Kn)={φ(x):x∈Kn｝をφの値域、Kerφ={x:φ(x)=0}をφの核という。また、φの値域がKm全体であるとき、φを上への写像という。 Knの異なる元がφで写されても必ず異なるとき、 φは1対1であるという。例題 R2上でベクトル 1を  2  へ、  2  を 1  3   1 Aを求めよ。       解  1 へに移す行列 2   1  2   2  1  A     、 A     をひとまとめにかくと、 1  3  1  2  1 A 1 2  2    1 3 1 右から 1  2  1  1 となる。 2  1  1 1 3 1 2 1 3 をかけると、A  3 5  1   3 4  行列の階数 1 1 1 1 A  2 2 2 2   上のような行列Aを考えると、これはK4からK2への線形写像を定めるが実際にK4のベクトルを写してみると、 1 y  Ax  x1  x2  x3  x4   2 となっており、写した先のベクトルは全て1つのベクトルのスカラー倍に過ぎない。この場合Aの値域は1次元であり4次元から1次元へと潰れている。行列の階数２行列Aの値域の次元を、Aの階数(rank)といい、rankAで表す。 A  a1 a2  an  上のAを適当に順序を入れ替えてa1、･･･、akまでは1次独立だが、それらにak+1、･･･、anのどれを加えても1次従属になったとすると、実質的にはAの値域はa1、･･･、akによって張られていることになり、k次元であることがわかる。つまりその場合は、rankA=k となる。行列の変形以下3種類の正則な行列をかける事で階数を調べることが可能である。これらの行列を基本行列といい、これらをかけることを基本変形という。 P          ∨ ｉ 1           c  1  P i:c c  0 P-1                  1 ∨ ｊ     ｉ＞         R 1 c          1            R i, j :c c  0 R-1                   1 c            1          1   c            1 ∨                      行列の変形２ｊ ∨ ｉ 1 Q  1 0  1  1   1 1  0 1                        Q i, j Q1  Q         1 行列Pを左からかけると第i行がc倍され、行列Qをかけると第i行と第j行が入れ替わり、行列Rをかけると第j行をc倍して第i行に加える。右からかける場合は行ではなく列が変化する。この操作によって０と１の対角行列を作るように行列を変化させていけば階数を求めることができる。逆行列の計算行列Aが正則であれば、基本変形により単位行列Iに変形することができる。 A A-1= A-1A=I からわかるように、基本変形を左もしくは右からのみかける事で行えば、逆行列を求めることができる。例えば左からの変形で求めるならA I  とおき行のみで基本変形を行えばよい。宿題A 問１次の行列は正則か否か。また正則のときは逆行列を求めよ。 i  1 2 3   2 0 2   3 2 1 ii   1 1  1 0 0 1  1 1    1 0  1  1   0  1 1 0   iii   2  1 3 0  1 2  2  1   4 3 1 2   1  3 3  3   問2 ２次正方行列Aが、任意の２次正方行列Xと可換、すなわちAX=XAをみたすならば、A=aIの形でなければならない。このことを示せ。宿題B 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0, 0 1, 0 0, 0 0         問3 任意の2次正方行列がの1次結合であることを示せ。問4 行列Aが以下の時に、AP=PAをみたす全ての行列P を求めよ。 1 1 A  0 1 問5 行列AとPが以下の時に、AをPで表す式を示せ。  a1 a 2 a3 a 4  a a a a  A   4 1 2 3  a3 a 4 a1 a 2    a a a a  2 3 4 1 0 0 P 0  1 1 0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0