波動インピーダンス 科 v1.1 May.2014 1. 電波インピーダンス (電界と磁界の比) z 軸上原点に置かれた長さ(l,電流 I の微小ダイポールが作る電磁界は ) Il 1 j Er = cos θe−jkr k2 η − (1) 2 2π (kr)3 ( (kr) ) Il j 1 j Eθ = sin θe−jkr k2 η + (2) + 2 3 4π kr (kr) (kr) ( ) Il j 1 Hφ = sin θe−jkr k2 + (3) 4π kr (kr)2 Eθ Z= = Hφ ( η = j kr Il 4π sin θe−jkr k2 η Il 4π + 1 (kr)2 1 j kr + ( j kr ( + 1 (kr)2 1 sin θe−jkr k2 j kr + + j (kr)3 ) + j (kr)3 1 (kr)2 k2 η = ω 2 µε [ Re 1+ 1 jkr − 1+ 1 jkr 1 (kr)2 =η j kr − 1− 2π ∫ π ) ( V (z) = V0+ e−jβz + V0− e+jβz ejωt ) 1 ( + −jβz − V0− e+jβz ejωt I(z) = V e Z0 0 領域を遠方界と呼ぶ。 進行波のみに着目すると 㻾㼑㼇㼆㼉 㼨㼇㻵㼙㼇㼆㼉㼨 㼨㼆㼨 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻟 [ 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻝 㻝㻜 (15) (16) (17) (18) ] Re v + (z, t) = V0+ cos (ωt − βz + θ) (21) [+ ] V0+ Re i (z, t) = cos (ωt − βz + θ) (22) Z0 が得られる。式 (21) と式 (22) から瞬時電力 p を求めると 2 [ + ] [+ ] V0+ p(t) = Re v (z, t) Re i (z, t) = cos2 (ωt − βz + θ) (23) Z0 となる。ここから時間平均電力 P¯ を求めると 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻞 㻝 㼗㼞㻌㼇㼞㼍㼐㼉 のみなので*4 㻟㻣㻢㻚㻣 㻜㻚㻝 (14) v + (z, t) = V0+ ejθ e−jβz ejωt = V0+ ej(ωt−βz+θ) (19) + + V0 V0 ejθ e−jβz ejωt = ej(ωt−βz+θ) i+ (z, t) = (20) Z0 Z0 となる。式 (19) 式と (20) において,物理的な意味を有するのは実部 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻡 㻵㼙㼜㼑㼐㼍㼚㼏㼑㻌㼇䃈㼉 ∫ が運ぶ伝送電力について考えてみる。波動方程式の一般解より に近づくことが分かる。このように波動インピーダンスが定常になる 㻝㻜㻜 波動インピーダンスの距離変化 1 P¯ = T ∫ T p(t) dt = 1 T ∫ T + 2 V0 Z0 cos2 (ωt − βz + θ) dt + 2 ∫ T 1 V0 = cos2 (ωt − βz + θ) dt (24) T Z0 0 加法定理を使って式 (24) を展開すると次式となる。 + 2 ∫ T + 2 V0 1 + cos [2 (ωt − βz + θ)] 1 V0 ¯ P = dt = (25) T Z0 2 2Z0 0 一方,実部と虚部を含む式 (17) と式 (18) をそのまま使って,次の計 算 V (z)I ∗ (z)/2 を行ってみる*5 。 1 1 1 V (z)I ∗ (z) = V0 + e−jβz ejωt V0 +∗ e+jβz e−jωt 2 2 Z0 1 1 1 1 + 2 = V0 + V0 +∗ = (26) V0 2 Z0 2 Z0 6 * ¯ これは式 (25) で求めた時間平均電力 P に等しい 。即ち, 1 1 P¯ = V (z)I ∗ (z) = V ∗ (z)I(z) (27) 2 2 となる。式 (17) と式 (18) のように複素数で表された電圧・電流セッ 2. 放射抵抗 (電圧と電流の比の実部) 同様に,平面波として遠方に到達する電磁界成分 Eθ , Hφ の積から, *3 。H の共役は式 (3) より 時間平均電力密度 Eθ Hφ ∗(/2 を計算する) φ −j 1 + (6) kr (kr)2 2 であるから,時間平均電力密度 [W/m ] は次式で計算される。 1 Eθ Hφ ∗ (7) 2 ( ) ( )( ) 2 1 1 1 Il j j −j + + = sin2 θk4 η − (8) 2 3 2 2 4π kr kr (kr) (kr) (kr) ( ) 1 j −j 1 −1 j I 2 l2 sin2 θηk4 + + + + − = (9) 2 3 3 4 4 32π 2 (kr) (kr) (kr) (kr) (kr) (kr)5 ( ) 1 j I 2 l2 sin2 θηk4 − = (10) 2 32π 2 (kr)( (kr)5 ) ( ) I 2 l2 sin2 θηk4 k 2 j = 1− (11) 32π 2 r (kr)3 Hφ ∗ = 0 ] 1 Eθ Hφ ∗ r2 sin θdθdφ 2 3. 付録:共役複素数を掛ける理由 最も簡単な例として,1 次元伝送線路を伝わる電圧 V (z) と電流 I(z) kr < 1 では Im[Z] が支配的*2 で,kr > 1 では Re[Z] が支配的とな り,さらに電流源から十分離れた遠方 kr > 10 では Z ≃ η = 376.7 Ω 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻠 (13) I 2 l2 k 3 sin3 θ r2 sin θdθdφ = 32π 2 r2 ωε 0 0 I 2 l2 k 3 I 2 l2 k3 8π = = 32π 2 r2 ωε 3 12πωε となる。さらに式 (14) を変形すると ( )2 (Il)2 (2π)2 √ I 2 l2 k 3 Il π = η P¯ = ω µε = 2 12πωε 12ωεπλ λ 3 2 となる。ここで,P¯ = Rr I より Rr は次式となる。 ( )2 l π Rr = η λ 3 式 (16) を微小ダイポールアンテナの放射抵抗と呼ぶ。 ンスと呼ぶ。図 1 に波動インピーダンスの距離変化の様子を示す。 図1 Re 0 これを微小ダイポールの波動インピーダンスまたは電波インピーダ 㻝㻚㻜㻱㻗㻜㻜 㻜㻚㻜㻝 [ π 2π (5) j kr ] 1 I 2 l2 sin2 θk3 Eθ Hφ ∗ = 2 32π 2 r2 ωε P¯ = ) 1 (kr)2 (12) 小ダイポールを包む球面全体で積分すると ∫ ∫ (4) 1− √ ω µε µ k3 = ω 2 µε = ε ωε ωε となる。さらに,時間平均放射電力 [W] を求めるために式 (13) を微 となり,分子分母に kr/j を掛けると Z=η √ の関係を使うと ) 1 (kr)2 番 氏名: 空間に放射されて消費されるのは,式 (11) のうちの実部のみなので であった。このうち,平面波*1 として遠方に到達する電磁界成分 Eθ , Hφ の比を Z とおくと 年 Il sin θe+jkr k2 4π 0 o トのうち,片方の共役をとって掛け合わせることで複素数を上手く消 去できる。これにより物理的に意味のある値の導出に要する計算量を 大幅に減らすことができる。 *1 *4 進行方向である r 方向に電磁界成分を有さない波。このケースは TMr モー ド (Hr = 0) と呼ぶこともできる。 *2 実際は Im[Z] の符号には − が付くので,キャパシティブなインピーダンス である。このようにリアクタンスが支配的な領域を近傍界と呼ぶ。 *3 共役を掛ける理由は付録参照。 敢えて虚部や指数関数を導入しているのは,微積分の計算が簡単になるため。 cos x や sin x の微分積分には符号反転や,cos と sin の入れ替えなど面倒だ が,ejx なら微分積分しても間違いを犯すリスクが少ない。 *5 V ∗ (z)I(z)/2 でもよい。 *6 二つの共役複素数 c = a + jb と c∗ = a − jb の積は a2 + b2 = |c|2 である。 1
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