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電磁気学によく出る積分公式
科
v1.1 May.2014
1. 積分公式
∫
∫
∫
∫
(1)
−1
dx = cos−1 x + C
1 − x2
(2)
√
∫
1
x
dx = sin−1 + C
a
a2 − x2
√
a2 − x2 dx =
∫
1
(a2
(
a2 − x2 + a2 sin−1
dx =
3
dx = − √
x
(a2 + x2 ) 2
∫
3
(a2 + x2 ) 2
∫
3
(a2 + x2 ) 2
2
∫
∞
2
e−ax dx =
x
a
0
∫
∞
2
x2 e−ax dx =
0
∫
√
(
(8)
1
4
1
+C
a2 + x2
(10)
(13)
cos x dx = sin x + C
(16)
∫
1
1
cos2 x dx = x + sin 2x + C
2
4
2. 式 (7) の証明
√
まず，f (x) = x + a2 + x2 とおくと f ′ (x) = 1 + √
∫
(
dx
(
)
√
−x
+ ln x + a2 + x2 + C
2
2
a +x
)
3
2 −2
{∫
=
a2 + x2 − x2
3
x2
−
3
(
√
a2 +x2 +x
√
1 + √ 2x 2
f (x)
1
a +x
a2 +x2
√
√
=
=
= √
f (x)
x + a2 + x2
x + a2 + x2 √ a2 + x2
となる。もとの式
(7)∫ 左辺の分子分母に
x + a2 + x2 を掛けると
∫
√
2
1
x + a + x2
(
) dx
√
dx =
√
√
2
2
2
a +x
a + x2 x + a2 + x2
√
∫ x+√ a2 +x2
∫ ′
f (x)
a2 +x2
√
=
dx
dx =
2
2
f (x)
x+ a +x
ここで式 (5) の結果を使えば
′
√
a2 + x2 + C
以上より式 (7) が得られる。
1
dx =
{
1
a2
1
1
∫
dx −
(a2 + x2 ) 2
x2
−
}
x2
3
dx
(a2 + x2 ) 2
}
3 dx
(a2 + x2 ) 2
{ (
)
(
)}
√
√
x
ln x + a2 + x2 + √
− ln x + a2 + x2
a2 + x2
x
√
+C
a2 + x2
1
(a2 + x2 ) 2
a2 + x2
)− 32
が得られる。
となる
∫
1
以上より
∫
(18)
x
3
2
1
2
a +x
1
a2
1
= 2
a
=
(17)
a2 +x2
1
=
1
2
1
= 2
a
から
= ln |f (x)| + C = ln x +
dx = √
を使うと与式は
∫
1
1
x − sin 2x + C
2
4
)− 23
1
a2
(14)
(15)
sin2 x dx =
)− 12
(a2 + x2 )
(a2 + x2 ) 2
ここで式
(7) と式 (11) の結果
∫
(
)
√
1
√
dx = ln x + a2 + x2 + C
2
2
∫ a +2 x
(
)
√
x
x
2 + x2 + C
√
dx
=
−
+
ln
x
+
a
3
a2 + x2
(a2 + x2 ) 2
(12)
π
a3
a2 + x2
=
)
sin x dx = − cos x + C
∫
(
(−1) a2 + x2
(a2 + x2 )
a2 (a2 + x2 ) 2
2
2
2
a +x
x
=
3 −
3
a2 (a2 + x2 ) 2
a2 (a2 + x2 ) 2
2
1
x
=
1 −
3
2
2
2
2
2
2
a (a
a (a + x2 ) 2 }
{ +x )
(9)
π
a
√
dx
まず、被積分関数を次のように変形する。
+C
1 −ax2
e
+C
2a
1
2
−
dx
4. 式 (9) の証明
)
√
x
+ ln x + a2 + x2 + C (11)
dx = − √
a2 + x2
xe−ax dx = −
3
(a2 + x2 ) 2
が得られる。
(
x2
−
−x
1
√
+
dx
a2 + x2
a2 + x2
ここで第 2 項に式 (7)
( の結果を使うと
)
√
−x
= √
+ ln x + a2 + x2 + C
a2 + x2
+
※式 (9) は有限長直線電流が作る磁場を求める際に使われる。
∫
)
x
= √
(7)
x
√
+C
a2 a2 + x2
3
)− 12 )′
以上より
∫
( √
1
x2 ) 2
)− 12
∫
(6)
2
(−x)
a2 + x2
x2
x
dx =
2
2 2
∫(a + x ()
(
(−x)
(
∫
= (−x) a2 + x2
(5)
√
1
dx = ln x + a2 + x2 + C
2
2
a +x
∫ √
=
(4)
1
dx = ln |x| + C
x
∫
3
(3)
f ′ (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
∫
x2
これは部分積分の公式そのものなので
∫
1
dx = tan−1 x + C
1 + x2
∫
番氏名:
3. 式 (11) の証明
1
√
dx = sin−1 x + C
1 − x2
√
年
dx =
1
x
√
+C
a2 a2 + x2

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