演習問題 11/12

概論 IV 演習
§11．孤立特異点と留数定理
2015 年 1 月 6 日出題
§12. 留数定理の応用（板書解答は 1 月 13 日の講義以降）
[ 11.1 ] f (z) :=
[ 11.2 ] f (z) =
[ 11.3 ] f (z) =
(z
z
1)(z
3)
(z
1
1) (z
2)2
2ez
sin ⇡z
1
z2
1
3
の z = 1 における Laurent 展開を求めよ．
の各極における主要部を求めよ．
の z = 1 における特異点の性質（極なら何位の極か）
を調べよ．
[ 11.4 ] f (z) は 0 < z < 1 で正則であって，定数 ↵ ( ↵ < 1) に対して，函数
方程式 f (z) = zf (↵z) をみたすという．f (z) の z = 0 での Laurent 展開の定数項
1
P
が 1 に等しいとき，f (z) =
↵n(n 1)/2 z n (0 < z < 1) であることを示せ．
n= 1
また f ( ↵) = 0 となることも示せ．
⇣
[ 11.5 ] z 2 C を固定するとき，0 < w < 1 で正則な函数 exp z w
2
特異点 w = 0 での Laurent 展開を
1
⇣
⌘
X
z
1
exp
w
=
Jn (z)wn
2
w
とするとき，次式を示せ：
Jn (z) = 1
2⇡
1
w
⌘
の孤立
n= 1
Z
⇡
cos(z sin ✓
n✓) d✓
⇡
[ 11.6 ] 函数 f (z) は 0 < z < R (R > 0) で正則であって有界であるとする．この
とき，z = 0 は f (z) の除去可能特異点であることを，Laurent 展開の負べきの係
数を評価することにより示せ．
[ 11.7 ] f (z) は D(a, R) \ {a} で正則であって，孤立特異点 z = a は真性特異点であ
るとする．このとき，任意の r (0 < r < R) に対して，f (D(a, r) \ {a}) は C で稠
密であることを背理法により示せ．
[ 11.8
Z Z ] 函数 f (z) は D := {z 2 C ; 0 < z < 1} で正則であるとする．広義積分
f 0 (x + iy) 2 dxdy が収束するなら，z = 0 は f (z) の除去可能特異点であるこ
D
とを示せ．
Hint: D における f (z) の Laurent 展開を用いて f 0
分する（正当化の理由必要）．
2
= f 0 f 0 を " 5 z 5 r で項別積
[ 12.1 ] 次の各函数の z = 0 における留数を求めよ．
(1) sin 3z 3 sin z
(2) z 5 sin 12
(sin z z) sin z
z
[ 12.2 ] 次の各積分の値を求めよ．
Z
Z
1
1
ez 1 dz
(1)
tan z dz
(2)
2⇡i |z|=2
2⇡i |z|=2 z 2 + z
[ 12.3 ] 次の各積分の値を求めよ．
Z
Z
1/z 2
1
e
1
1 sin 1 dz
(1)
dz
(2)
2⇡i |z i|=3/2 z 2 + 1
2⇡i |z|=2 z 1
z
[ 12.4 ] f (z), g(z) は z = a 2 C の近傍で正則で，f (a) 6= 0 かつ z = a は g(z) の 2 位
の零点とする．このとき次式を示せ．
f (z)
6f 0 (a)g 00 (a) 2f (a)g 000 (a)
Res
dz =
z=a g(z)
3g 00 (a)2
[ 12.5 ] a > 0 とする．z = e2i✓ の積分に書き直して次式を示せ．
Z ⇡
d✓
= p⇡
2
2
a 1 + a2
0 a + sin ✓
[ 12.6 ] n は自然数とする．上半平面 Im z > 0 での留数を考えて，次式を示せ．
Z +1
dx
⇡
2n =
1
+
x
n sin ⇡
1
2n
Z R
eitx dx を求めよ．
[ 12.7 ] ↵ 2 C かつ Im ↵ > 0 とする．t 2 R のとき， lim
R!+1
↵
R x
（答は t が正か 0 か負かによって場合が分かれる．）
[ 12.8 ] Q(z) は原点を含む正の実軸に極を持たない有理函数で， lim Q(z) = 0 を
|z|!1
みたしているとする．0 < ↵ < 1 とするとき次式を示せ．
Z +1
P
⇡
Q(x)x↵ 1 dx =
Res Q(z)( z)↵ 1 dz.
z=
sin(⇡↵)
0
ただし，0 < ✓ < 2⇡ のとき，
( rei✓ )↵ 1 = e(↵ 1)(Log |z|+i(✓
⇡))
Im z
⇢,R,
．
Hint: まず問題の定積分は絶対収束している事を確認して，
f (z) := Q(z)( z)↵ 1 を D := C \ [ 0, +1 ) で考える．点 A
を出発する D 内の右上図の閉路 ⇢,R, （大きい円は z = R，
小さい円は z = ⇢ で，実軸に対称に小さい弧を切り捨てて，
切り口を線分で結んで AB, CD とする）で f (z) を積分して，
留数定理を適用して ! +0，R ! +1，⇢ ! +0 とする．
A
B
O D
C
A
B
2
2
D
C
Re z

Download Report