11 回目授業レジュメ 電気工学科 講師 南政孝 http://www.kobe-kosen.ac.jp/˜minami/ 平成 27 年 01 月 17 日 (月) 本日の内容 (1) 負の指数項が存在しない. 点 α は除去可能な特異点 (2) 負の指数項が有限個しか存在しない. 点 α は極 (2) 負の指数項が無限個存在する. 点 α は真性特異点 Laurent 展開の主要部が有限項で, a−k a−1 + ··· + k (z − α) (z − α) と展開されていて, a−k ̸= 0 のとき, 点 α は k 位の 極と呼ばれる. 除去可能な特異点において, f (α) = lim f (z) と定義すれば, f (z) は点 α で正則 4.2.5 関数の展開 – Laurent 展開 – Laurent 展開の係数 4.2.6 孤立特異点と留数 – 孤立特異点 – 留数 4.2.5 関数の展開 z→α となる. (例) Laurent 展開 1 z 2 (1 − z) 1 (2) f (z) = e z sin z (3) f (z) = z (1) f (z) = 前回の板書に書いたため, 省略 Laurent 展開の係数 (係数の一意性) an を直接計算するよりも, 収束級数や Taylor 展開 を利用すれば, より簡単に求められる. (例) ez (z = 1 のまわり) f (z) = z−1 1 g(z) = z 3 sin (z = 0 のまわり) z 留数 単一閉曲線 C 上およびその内部において, 関数 f (z) が z =Iα を除いて正則であるとき, 積分 1 f (z) dz j2π C の値を f (z) の点 Iα における留数という. 1 Res[f, α] := f (z) dz j2π C 留数 Res[f, α] は f (z) の α のまわりの Laurent 展 開における係数 a−1 によって与えられる. [証明] f (z) = a0 + a1 (z − α) + · · · + an (z − α)n + · · · a−n a−1 + ··· + + ··· + z−α (z − α)n の両辺を閉曲線 C について積分すると, I 4.2.6 孤立特異点と留数 孤立特異点 関数 f (z) が正則でない点を特異点と呼ぶ. 特異点 α の充分近くに他の特異点が存在しないと き, 点 α は孤立特異点と呼ばれる. 点 α が f (z) の孤立特異点であるとき, f (z) は z = α を除いて, 点 α の近傍で正則であるから, Laurent 展 開可能である. ∞ ∑ f (z) = an (z − α)n , 0 < |z − α| < r (収束半径) f (z) dz { } = a0 + a1 (z − α) + · · · + an (z − α)n + · · · dz CI { } a−n a−1 + ··· + + · · · dz + (z − α)n C z−α I 1 = a−1 dz = j2πa−1 z − α C CI n=−∞ 展開において, 負の指数の項を主要部と呼ぶ. 主要 部に関して, 次の 3 つの場合が可能であり, 互いに背 反的である. 1 ゆえに, a−1 = 1 j2π I 例 12 f (z) dz = Res[f, α] C α は 0 < |z − α| < R で正則な関数 f (z) の 1 位の 極とする. α を中心とする半径 r(r < R) の円の上半 分に沿って, 点 α + r から点 α− r に至る曲線を Cr と するとき ∫ , 次の等式を証明せよ. 2 ドリル lim pp. 147–148 (no. 74) r→0 Cr f (z) dz = jπRes[f, α] 授業レポート 問 17 (34 番学生が回答) 例 11 α, f (z), r は例題 12 の通りとし, α を中心とする半 径 r の円に沿って, 点 α + r から点 α + jr に至る曲線 を Cr とするとき , 次の等式を証明せよ. ∫ π lim f (z) dz = j Res[f, α] r→0 Cr 2 f (z) = 1 の z = 1 を中心とする Lau(z − 1)(z − 2) rent 展開 例 11’ f (z) = 1 の z = 0 を中心とする Lau(z − 1)(z − 2) rent 展開 問 16 (31 番学生が回答) 次の関数の ( ) 内の点を中心とする Laurent 展開 を求めよ. 1 (1) , (z = 2) (z − 1)(z − 2) cos z (2) , (z = 0) z 1 (3) z cos , (z = 0) z 1 (4) , (z = −1) z(z + 1)2 練習 2 の 4 (32 番学生が回答) 次の関数の ( ) 内の点を中心とする Laurent 展開 を求めよ. 1 , (z = 1) (1) z(z − 1)2 sin z (2) , (z = π) (z − π)2 1 (3) (z − 1)3 e z−1 , (z = 1) 問 (33 番学生が回答) 次の関数において, z = 0 は何位の極か答えよ 1 1 ez (1) (2) n (3) z z z 2
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