演習問題2-2 - unphysical.info

平成 27 年度前期数学解析演習 II
問題 2–2: 複素級数と留数の原理
【1】図 1 のように点 a を中心とする同心円 C1 , C2 に挟まれた領域 D とその境界上で
正則な関数 f (z) を考える。領域 D 内の点 z に対して、z = a を中心とする Laurent
(担当: 濱本)
C1
z
C2
展開の公式
a
∞
∑
∞
∑
bn
f (z) =
an (z − a)n +
(z − a)n
n=0
n=1
を導き、係数 an , bn を求めよ。
図 1 影をつけた部
【2】次の関数 (1)∼(3) に対して z = 0 を中心とする Laurent 展開を求めよ。
分を領域 D とする。
(1) e
sin z
(2)
z
1
z
1
(3)
(z − 1)(z − 2)
【3】留数定理を利用して次の (1)∼(4) の定積分を求めよ。ただし a > 0, m > 0 とする。必要ならば下図に示
した積分経路を参考にしてよい。
∫
π
(1)
0
∫
adθ
2
a + sin2 θ
∞
(2)
−∞
(1)
∫
dx
x2 + a2
(3)
(2)
∫
∞
x sin mx
dx 2
x + a2
−∞
∞
(4)
dx
0
sin x
x
(4)
(3)
T
O
1
O
R
O
S
R
O
r
R
【4】Gauss 積分の公式を複素平面に拡張しよう。
(1) まず多重積分を用いて Gauss 積分の公式
∫
を導け。
（ヒント: X =
∫
∞
√
dx e−ax =
2
−∞
dx e−ax , Y =
2
∫
π
a
(a > 0)
dy e−ay として XY を計算する。）
2
(2) 次に複素平面上の 4 点 ±R, ±R + ib (b > 0, R → ∞) を頂点とする長方形の周に沿った積分を考え、拡張
された Gauss 積分の公式
∫
∞
√
dx e−a(x+ib) =
2
−∞
π
a
が成り立つことを証明せよ。
【5】金属中の原子核による正電荷を固定された一様な電荷密度 en0 (e > 0) で近似すると、電荷中性条件の下
で電子は数密度 n(r) = n0 で一様に分布する。いま原点に点電荷 q を置くと電子密度は一様分布から変化し、
Thomas-Fermi 理論では静電ポテンシャル ϕ(r) が満たす Poisson 方程式は
(
)
e2 ∂n0
q
2
2
κ≡
(∇ − κ )ϕ(r) = − δ(r)
ε0
ε0 ∂µ
1
で表される。ここで µ は化学ポテンシャル、δ(r) は Dirac の delta 関数とする。このとき Fourier 変換
∫
∞
ϕ(r) =
−∞
∫
dk
ϕk eik·r ,
(2π)3
∞
δ(r) =
−∞
dk ik·r
e
(2π)3
および留数定理を利用することにより、ϕ(r) が Yukawa 型の静電ポテンシャル
ϕ(r) =
q e−κr
4πε0 r
で与えられることを示せ。κ は Thomas-Fermi 波数と呼ばれ、κ−1 は点電荷 q が電子密度の変化 ∆n =
n(r) − n0 によって遮蔽 (screening) される長さスケールを表す。
2

Download Report