関数論演習第 16 回
2014 年 7 月 1 日担当：中島
16
Taylor 展開, Laurent 展開 2
例題 16.1. f (z) =
例題 16.2.
z+1
(z−1)2 z
eiz
z
の孤立特異点とその種類を求めよ.
の孤立特異点とその種類を求めよ.
例題 16.3. 例題 16.1,16.2 の関数に対して, 孤立特異点における留数をそれぞれ求めよ.
問 16.1. 次の関数の孤立特異点とその種類を求めよ.
1 − cos z
z4
z
(iii) f (z) = z
e −1
(i)
eiz
z2 + 1
1
(iv) f (z) = n
z −1
f (z) =
(ii) f (z) =
問 16.2. 問 16.1 の関数に対して, 孤立特異点における留数をそれぞれ求めよ.
レポート A 16.1. 次の関数の孤立特異点とそれぞれの極における留数の値を求めよ. ただし n は自然
数, p(z) = an z n + · · · + a0 とする.
(
)n
1
(i) f (z) = z +
(ii)
z
f (z) = ez p
( )
1
z
(iii) f (z) =
レポート A 16.2. P (z), Q(z) は実数係数の多項式とする. R(z) =
1
exp
n
z +1
(
1
zn
)
P (z)
に対して点 α が 1 位の極で
Q(z)
あるとき点 α も R(z) の 1 位の極であることを示し,
Res (R, α) = Res (R, α)
となることを示せ.
レポート A 16.3. c0 = c1 = 1, cn = cn−1 + cn−2 (n ≥ 2) で定義される数列をフィボナッチ数列とい
う. 級数
f (z) =
∑
cn z n
n≥0
を考える.
(i) n ≥ 0 で 0 ≤ cn ≤ 2n であることを示し, 収束半径 R は
1
2
以上であることを示せ.
(ii) |z| < R で f (z) = 1 + zf (z) + z 2 f (z) を満たすことを示せ.
(iii) |z| < R で Laurent 展開せよ.
(
レポート B 16.1. α(定数) とする. f (z) = exp
1
Jn (α) =
π
∫
α
2
(
))
1
z−
の点 z = 0 の周りでの Laurent 展開は
z
π
cos(nθ − α sin θ)dθ
0
とおいた時,
f (z) =
∞
∑
Jn (α)z n
−∞
と書けることを示せ. (Jn (α) を n 次の Bessel 関数と呼ぶ.)
レポート提出期限: 2014 年 7 月 8 日 (火) 授業開始時まで
提出: 授業開始時に提出
16
Taylor 展開, Laurent 展開 2
前回 Laurent 展開について解説した.
• 孤立特異点: f が点 a ∈ C の近傍で, 点 a を除いた点で 1 価の正則関数であるとき, a を孤
立特異点という.
例: f (z) =
1
z
における点 0. f (z) =
1
z
+
1
z−2
における 0, 2. f (z) = exp( z1 ) における 0.
• 分類: a が f の孤立特異点であるとする. このとき a の周りで Laurent 展開する.
f (z) =
−1
∑
cn (z − a)n +
n=−∞
∑
cn (z − a)n .
n≥0
後半は点 a を含めた領域で正則である. よって前半部が f の点 a での特異性をひきおこす.
これを主要部とよぶ.
– 除去可能な特異点: cn = 0 (n ≤ −1) であるとき点 a は除去可能な特異点と呼ぶ. 特に
c0 = limz→a f (z) であるので f (a) = c0 と定義することで点 a を含めた領域で正則に
なる.
例: f (z) =
sin z
z
に対して z = 0 は除去可能特異点.
– 極: ある m < 0 に対して cm ̸= 0, かつ ck = 0 (k < m) であるとき点 a を m 位の極と
いう.
例: f (z) =
1
z2
では z = 0 が 2 位の極.
– cm ̸= 0 となる m < 0 が無限個存在するとき, a を真性特異点とよぶ.
例: f (z) = exp( z1 ) において点 0 は真性特異点.
• f が孤立特異点 a を持つとする. a の周りでの Laurent 展開
f (z) =
∞
∑
an (z − a)n
n=−∞
に対して a−1 を f (z) の点 a での留数 (Residue) といい, Res (a), Res (f, a) とかく. 除去可
能な特異点の時は Res(a) = 0 と定義する.
例題 16.1. f (z) =
eiz
z
は点 0 で定義できないので z = 0 が特異点. 特に z = 0 の周りでの Laurent 展
開は
∑
f (z) =
n≥−1
in+1 n
z
(n + 1)!
である. よって一位の極.
z+1
例題 16.2. 特異点は z = 0, 1 の時. z = 0 のとき |z| < 1 で (z−1)
2 は正則であるので f (z) =
∑
1
n
a
z
と展開できる
.
よって
z
=
0
は一位の極
.
n≥0 n
z
∑
1
n
また |z − 1| < 1 では z+1
n≥0 bn (z − 1) と展開できる. よって z = 1
z は正則なので f (z) = (z−1)2
は二位の極.
例題 16.3. 例題??の特異点 z = 0 では z −1 の係数は eiz の Taylor 展開の初項である.
Res (f?? , 0) = 1.
例題??の特異点 z = 0. z −1 の係数は g(z) =
−1
z = 1. (z − 1) の係数は h(z) =
h′ (1) = Res (f?? , 1) = −1.
z+1
z
z+1
(z−1)2
つまり
の Taylor 展開の初項. つまり Res (f??,0 ) = 1.
の z = 1 の周りでの Taylor 展開の (z − 1) の係数. よって
問 16.1. (i)
z = 0. 2 位の極.
(ii) z = 1. 1 位の極. z = −1. 1 位の極.
(iii) z = 0. 除去可能特異点. z = 2nπi n ∈ Z\{0}. 1 位の極.
2πi
(iv) ζ = e n としたとき z = ζ k . (k = 0, · · · n) 1 位の極.
問 16.2. (i)
Res(f, 0) = 0
i
(ii) Res(f, i) = − 2e
. Res(f, −i) = ie
2.
(iii) Res(f, 0) = 0. Res(f, 2nπi) = 2nπi
∏
∏n−1
1
−k(n−1)
(iv) Res(f, ζ k ) = j̸=k (ζ k −ζ
j) = ζ
j=1
1
(1−ζ j )
=
ζ −k(n−1)
.
n