演習問題3

線形代数学 III 演習 3 （4/25）∗
• 板書する際には学生番号・名前も書いてください．
問 3-0．
（※ 板書解答対象外）


1 i 3+i


(1) a −1
b  がエルミート行列となるような複素数の組 (a, b, c) を全て求
c 1
0
めよ．
(
)
1 2i
(2) A =
をユニタリ行列で対角化せよ．
（※ つまり，適当なユニタリ行
−2i 1
列 P を用いて P −1 AP を対角行列にせよ，ということ．ここでの P の選び方は一
意的ではないことに注意．
）
問 3-1．次の命題が正しければ証明し，間違っているならば反例を挙げよ．
(1) 二つのエルミート行列 A，B の和 A + B はエルミート行列．
(2) 二つのエルミート行列 A，B の積 AB はエルミート行列．
(3) エルミート行列 A のスカラー倍 cA（c ∈ C）はエルミート行列．
(4) エルミート行列 A の転置行列 t A はエルミート行列．
問 3-2．次の命題が正しければ証明し，間違っているならば反例を挙げよ．
(1) 二つのユニタリ行列 A，B の和 A + B はユニタリ行列．
(2) 二つのユニタリ行列 A，B の積 AB はユニタリ行列．
(3) ユニタリ行列 A のスカラー倍 cA（c ∈ R）はユニタリ行列．
(4) ユニタリ行列 A の転置行列 t A はユニタリ行列．

問
√1
 2
3-3．− √13
a
√1
2
√1
3
b
0


√1 
3
がユニタリ行列となるような複素数の組 (a, b, c) を全て
c
求めよ．


0
1 −1


問 3-4．−1 0
1  をユニタリ行列で対角化せよ．
1 −1 0
問 3-5．(1) ユニタリ行列の行列式は絶対値が 1 の複素数であることを示せ．
(2) ユニタリ行列の固有値は絶対値 1 の複素数であることを示せ．
∗
問題作成責任者：小関祥康（特別助教），研究室：6-104，e-mail：[email protected]
問 3-6． A，B を n 次の実正方行列とする．このとき，以下は同値であることを
示せ．
(a) A
( + iB はユニタリ行列．
)
A −B
(b)
は直交行列．
B A
【解答：問 3-0】(1) (a, b, c) = (−i, 1, 3 − i)
(
)
(
)
1 i
−1 0
(3) P = √12
，P −1 AP =
i 1
0 3
(2) (a, b, c) =
√1 eiθ (1, −1, 2)（θ
6
は任意の実数）

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