x - 佐藤(邦)

平成 27 年度微積分解法演習６
（ H27.
担当佐藤邦）
（次回の講義開始時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。）
問１
学籍番号
氏名
(1) 曲線 y = f (x) = x2 − 6x − 7 について、
⃝
1 x = 4 における接線の方程式を求めよ。 ⃝
2 (1, −16) を通る接線の方程式を求めよ。
⃝
3 (2, −10) を通る接線の方程式を求めよ。 ⃝
4 直線 y = ax − 16 が接する a の値を求めよ。
⃝
5 直線 y = −4x + b が接する b の値を求めよ。
(
⃝
1 f ′ (x) = 2x − 6 → f ′ (4) = 8 − 6 = 2 → y − f (4) = f ′ (4) x − 4
)
→ y − (16 − 24 − 7) = 2(x − 4) → y = 2x − 23
(
)
(
)
(
)(
)
⃝
2 接点を a, f (a) とおくと y − f (a) = f ′ (a) x − a → −16 − a2 + 6a + 7 = 2a − 6 1 − a
→ a2 − 2a − 3 = 0 → (a − 3)(a + 1) = 0 → a = 3, −1 .
(
)(
)
a = 3 の時 y − (−16) = 6 − 6 x − 3 → y = −16
(
)(
)
a = −1 の時 y + 0 = − 2 − 6 x − (−1) → y = −8x − 8
(
)
(
)(
)
⃝
3 接点を a, f (a) とおくと − 10 − a2 + 6a + 7 = 2a − 6 2 − a
→ a − 4a + 9 = 0 → 判別式 D/4 = 4 − 9 = −4 < 0 より
⃝
1
y = 2x − 23
⃝
2
y = −16 , y = −8x − 8
⃝
3
接線は存在しない
⃝
4
a = 0 , −12
⃝
5
b = −8
2
(2, −10) を通る接線は無い
⃝
4 x2 − 6x − 7 = ax − 16 → x2 − (6 + a)x + 9 = 0
→ D = (6 + a)2 − 36 = 0 → a2 + 12a = 0 → a = 0 , −12
⃝
5 x2 − 6x − 7 = −4x + b → x2 − 2x − (7 + b) = 0
→ D/4 = 1 + 7 + b = 0 → b = −8
(2) 曲線 y = f (x) = x3 + 3x2 − 4x について、
⃝
1 x = −1 における接線の方程式を求めよ。 ⃝
2 (1, 0) を通る接線の方程式を求めよ。
⃝
3 (−1, 22) を通る接線の方程式を求めよ。
(
)
⃝
1 f ′ (x) = 3x2 + 6x − 4 → f ′ (−1) = 3 − 6 − 4 = −7 → y − f (1) = f ′ (1) x − 1
→ y − 6 = −7(x + 1) → y = −7x − 1
(
)
(
)
(
)(
)
⃝
2 接点を a, f (a) とおくと y − f (a) = f ′ (a) x − a → 0 − a3 − 3a2 + 4a = 3a2 + 6a − 4 1 − a
(
)2 (
)
→ 2a3 − 6a2 + 4 = 0 → 2 a − 1 a + 2 = 0 → a = 1, −2 .
a = 1 の時 → y − 0 = 5 (x − 1) → y = 5x − 5
a = −2 の時 y − 12 = (−4) (x − (−2)) → y = −4x + 4
(
)
⃝
3 接点を a, f (a) とおくと
(
)(
)
22 − a3 − 3a2 + 4a = 3a2 + 6a − 4 − 1 − a
(
)(
)
→ 2a3 + 6a2 + 6a + 18 = 0 → 2 a + 3 a2 + 3 = 0 → a = −3 .
a = −3 の時 → y − 12 = 5 (x + 3) → y = 5x + 27
⃝
1
y = −7x − 1
⃝
2
y = 5x − 5, y = −4x + 4
⃝
3
y = 5x + 27
問２
次の極限を求めよ。
(
)
cos 8 x + 3 − 1
(1)
lim
x + 3 = y と置く
(
)2
x→−3
x+3
( )
(
)2
cos 8y − 1
−2 sin2 4y
sin 4y
2
= lim
= −2 · 4 lim
= −32
= lim
y→0
y→0
y→0
y2
y2
4y
(
)
(
)
(
)
−8 sin 8 x + 3
sin 8 x + 3
−8 · 8
(
)
(
) = −32
ロピタル = lim
=
lim
x→−3
x→−3
2
2 x+3
8 x+3
(2)
(3)
(1)
−32
(2)
25
18
(3)
∞
(4)
−
e5x + e−5x − 2
ロピタルの定理を２回使う
x→0
1 − cos 6x
5 e5x − 5 e−5x
25 e5x + 25 e−5x
25 e0 + 25 e0
50
25
= lim
= lim
=
=
=
x→0
x→0
6 sin 6x
36 cos 6x
36 cos 0
36
18
lim
e3x
ロピタルの定理を３回使う
x→∞ x3
3e3x
9e3x
27e3x
9
9
= lim
=
lim
=
lim
=
lim e3x =
·∞=∞
x→∞ 3x2
x→∞ 6x
x→∞
x→∞
6
2
2
lim
(
(4)
lim
x→3
log (x − 2)
1
−
2
(x − 3)
x−3
)
ロピタルの定理を使う
1
−1
log (x − 2) − (x − 3)
x−2
=
lim
2
x→3
x→3 2(x − 3)
(x − 3)
−1
1
−x + 3
= lim
=−
= lim
x→3 2(x − 2)
x→3 2(x − 2)(x − 3)
2
= lim
問３
1
2
次の関数を２回微分せよ（２階導関数を求めよ）。
(1) f (x) = e−(x
f ′ (x) = e−(x
3 +3)
3 +3)
· (−3x2 ) = −3x2 e−(x
f ′′ (x) = −6xe−(x
3 +3)
− 3x2 e−(x
3 +3)
3 +3)
· (−3x2 )
(
)
3
3
3
= −6xe−(x +3) + 9x4 e−(x +3) = 3x 3x2 − 2 e−(x +3)
3 +3)
f ′′
(
)
3
3x 3x2 − 2 e−(x +3)
g′
2
√
4x − 5
√
4x − 5
)− 1
1(
2
g ′ (x) = 4x − 5 2 · 4 = √
2 ( )
4x − 5
3
(
)
1
4
−
)√
g ′′ (x) = 2 · −
4x − 5 2 · 4 = − (
2
4x − 5 4x − 5
(2) g(x) =
−3x2 e−(x
f′
g ′′
−(
4
)√
4x − 5 4x − 5
(
)
(3) h(x) = log x5 + 2
5x4
1
4
·
5x
=
x5 + 2
x5 + 2
3
5x4
20x8 + 40x3 − 25x8
20x
4
−(
h′′ (x) = 5
)2 · 5x =
(
)
5+2 2
x +2
x5 + 2
x
(
)
5x3 x5 − 8
−5x8 + 40x3
= (
)2 = − (
)2
x5 + 2
x5 + 2
h′ (x) =
h′
h′′
5x4
x5 + 2
(
)
5x3 x5 − 8
− (
)2
x5 + 2

Download Report