Ex. 5-1 野球のボールは 141.7–148.8 g と決められている．いまボールの質量を 145 g として時速 150 km/h で真上に投げる．このときボールが持つ運動エネルギーはどれだけか？また空気抵抗が無視できるとき何 m の高さまで上がるか？解答例）運動エネルギー K は 1 K = mv 2 = 0.5 × 0.145 × 1502 = 0.145 × 1502 = 125.9 (J) 2 力学的エネルギー保存の法則より最初の運動エネルギーがすべて重力ポテンシャルエネルギーに変わったとき最高点に達する．よって 1 mgh = mv 2 2 → h= v2 1502 = ≈ 88.6 m 2g 2 × 9.8 Ans.5–1 Ex. 5-2 バネ定数 49 N/m のバネを 1 m 伸ばす．このときバネが持つポテンシャルエネルギーはどれだけか？またこのバネに 1 kg の物体をつけて 1 m 伸ばした状態から離す．バネが元の長さに戻ったときの物体の速さを求めよ．解答例）バネの持つポテンシャルエネルギー U は 1 1 U = kx2 = × 49 × 12 = 24.5 (J) 2 2 力学的エネルギー保存の法則より 1 U = mv 2 2 √ → v= kx2 = m √ Ans.5–2 49 × 1 √ = 49 = 7 (m/s) 1 Ex. 5-3 水平な粗い台の上に質量 1 (kg) の箱がある．初速度 7 (m/s) を与えて滑らせたら距離 4 (m) だけ動いて静止した．摩擦力はいくらか？また動摩擦係数 µk を求めよ． v 静止 d 解答例）最初に持っていた運動エネルギー K は 1 49 K = mv 2 = 2 2 摩擦力 F は一定であるから止まるまでに摩擦力がした仕事は −F d であり，物体は F d の仕事をした．これが物体の持っていた運動エネルギーに等しいから 1 F d = mv 2 2 → F = mv 2 2d 床の垂直抗力を N とすると mv 2 , µk N = 2d N = mg よって µk = 49 5 v2 = = = 0.625 2dg 2 × 4 × 9.8 8 Ans.5–3 Ex. 5-4 バネ定数 k のバネを自然長の状態から l だけ伸ばすときにする仕事を次の手順で求め，それがバネの持つポテンシャルエネルギーに等しいことを示せ． 1. バネが x だけ伸びた状態のときにさらに伸ばすのに必要な力を求めよ． 2. 1 で求めた力で微小距離 dx だけ伸ばすときにする仕事を求めよ． 3. 2 で求めた仕事を x = 0 から l まで積分することで l だけ伸ばすときにする仕事を求めよ．解答例） 1. バネが x だけ伸びた状態での復元力は kx．さらに伸ばすのに必要な力も kx． 2. この力で dx だけ伸ばすのに必要な仕事 dW は dW = kxdx 3. 2 の仕事を x = 0 から l まで積分すると ∫ ∫ W dW = 0 [ l kxdx = 0 1 2 kx 2 1 W = kl2 2 バネの持つポテンシャルエネルギー U は 1 U = kl2 2 よって求めた仕事とポテンシャルエネルギーは等しい． Ans.5–4 ]l 0 Ex. 5-5 ⃗ が質点の座標を x，y として平面内を運動する質点に働く力 F F⃗ = (ay, ax) ⃗ がポテンシャルを持つかどうかしらべよ．持つ場合，ポテで与えられるとき，F ンシャルエネルギーはどう表されるか．解答例） Fx = − ∂U = ay, ∂x Fy = − ∂U = ax ∂y よって ∂Fx ∂ 2U =− = a, ∂y ∂x∂y ∂Fy ∂ 2U =− =a ∂x ∂x∂y 上式を満足する U は存在する．したがってポテンシャルは存在する． x 方向への力とポテンシャルの関係から − ∂U = ay ∂x 両辺を x で積分して −U = axy + f (y) y 方向にも同様に −U = axy + g(x) f (y) = g(x) となるのはそれらが定数の時のみである．定数は任意に取ることができるから，ここで定数を 0 とするとポテンシャル U は U = −axy と表される． Ans.5–5