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Ex. 6-1
一直線上を運動する 2 つの球 A および B がある．質量はそれぞれ m および M
である．はじめ B が静止していて，これに A が速度 u で衝突するものとする．衝
突が完全に弾性的であるとして，球 A から球 B に移るエネルギーを求めよ．また
移るエネルギーが最大となるのはどのような場合か？そのときどれだけのエネル
ギーが移るか？
解答例）
衝突前後の運動量の保存より
mu = mUA + M UB
運動エネルギーの保存則より
1
1
1
mu2 = mUA2 + M UB2
2
2
2
両式よりそれぞれ次式が得られる
M UB = m(u − UA ),
M UB2 = m(u − UA )(u + UA )
よって
UB = u + UA ,
UA = UB − u
これを運動量保存則に代入すると
UB =
2m
u
m+M
B の運動エネルギーは
1
1
4m2
2M u2
2
M UB2 = M
u
=
2
2 (m + M )2
(1 + M/m)2
これが最大となるのは M/m がゼロ（すなわち M << m）のときでそのとき
最大値は 2M u2 ．
これは M が一定の下では正しいが，m が一定の下では次のようになる．M = mt
とすると
2M m2 u2
2mtu2
1
M UB2 =
=
2
(m + M )2
(1 + t)2
t/(1 + t)2 を t で微分すると
d
1−t
t
=
dt (1 + t)2
(1 + t)3
よって t = 1 のとき極大となる．すなわち M = m の時で，その時の運動エネル
ギーは mu2 /2．すなわち A の運動エネルギーが全て B に移った時となる．
Ans.6–1
Ex. 6-2
質量 2M の物体が速度 V で飛んできて棒に当り同じ質量を持った 2 つにわかれ，
どちらも速度 V /2 で進行方向から 60 度の方向に飛んで行った．棒が受けた力積を
求めよ．
解答例）
衝突前の進行方向の運動量は 2M V ，衝突後の進行方向の運動量は
M
V
π
1
cos × 2 = M V
2
3
2
棒が物体に与えた力積を −F ∆t（進行方向と逆方向に F ∆t）とすると運動量保存
則より
1
M V − 2M V = −F ∆t
2
よって棒が受けた力積は F ∆t（進行方向）で
3
F ∆t = M V
2
Ans.6–2
Ex. 6-3
質量 m の球が壁面に直角に V の速さで飛んできたとする．完全弾性的に跳ね
返って飛び去った場合に壁が受ける力積はどれだけか？また，跳ね返らずに壁に
めり込んだ場合に壁が受ける力積はどれだけか？同じ球が 1 秒間に N 個飛んでき
て，完全弾性的に跳ね返って飛び去った場合，跳ね返らずに全て壁にめり込んだ
場合それぞれについて壁が受ける力はどれだけか？
解答例）
• 完全弾性の場合:
壁に衝突する前の運動量は mV ，衝突後の運動量は −mV ．壁が受ける力積
を −F ∆t（球の進行方向と逆向きに F ∆t）とすると，運動量と力積の関係
から
−mV − mV = −F ∆t
よって壁が受ける力積は進行方向に F ∆t で
F ∆t = 2mV
• 完全非弾性の場合：
壁に衝突する前の運動量は mV ，衝突後の運動量は 0．壁が受ける力積を
−F ∆t（球の進行方向と逆向きに F ∆t）とすると，運動量と力積の関係から
0 − mV = −F ∆t
よって壁が受ける力積は進行方向に F ∆t で
F ∆t = mV
• N 個飛んでくる場合：
1 秒間に N 個飛んでくるから 1 秒間に与える力積は N F ∆t である．したがっ
て完全弾性衝突の場合，2mN V ，完全非弾性衝突の場合，mN V となる．
Ans.6–3
Ex. 6-4
右図のように，床の上に置かれた鎖の一方の端に力を加え一
定の速さ v で鉛直上方に引き上げる．鎖の単位長さ当りの質量
が ρ であり，鉛直の部分の長さが x になっている時，鎖を引き
上げるのに必要な力 F を次の手順で求めよ．
(1) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に
鎖に与えられた力積を求めよ．
F
v
x
(2) 鎖の鉛直部分の長さが x であるとき，微小時間 dt の間に
変化した運動量を求めよ．
(3) 鎖を引き上げるのに必要な力 F を，x および v ，ρ と重力
加速度 g を用いて表せ．
解答例）
(1) 鎖に働く力は，上向きに引っ張る力 F と下向きの重力である．時刻 t におけ
る鎖の質量は ρx だから重力は ρxg ．したがって力は F − ρxg で，力積は
(F − ρxg) dt
時刻 t+dt における鎖の質量は ρ(x+vdt) だから鎖にかかる重力は ρ(x+vdt)g ．
よって力積は
[F − ρ(x + vdt)g] dt = (F − ρxg) dt − ρvg(dt)2
dt が微小であるから dt の 2 次以上を無視するとやはり力積は
(F − ρxg) dt
となる．すなわち力積は時刻 t から t + dt の間ほとんど変化しないと考えて
もよい．
(2) 時刻 t における鎖の質量は ρx であるから運動量は
ρxv
時刻 t + dt における鎖の質量は ρ(x + vdt) であるから運動量は
ρ (x + vdt) v
したがって運動量は ρv 2 dt だけ増加したことになる．
Ans.6–4
(3) 与えられた力積が運動量の増加分に等しいから
(F − ρxg) dt = ρv 2 dt
上式を解いて
F = ρxg + ρv 2
Ans.6–5
Ex. 6-5
次の手順で半径 a，厚さ d，密度 ρ の半円盤の重心の位置を求めよ．
(1) 半円盤上の微小要素の面積を極座標 (r, θ) で表すと rdθdr となる．このとき，
この微小要素の質量 dm を求めよ．
(2) 半円盤の中心を原点とし，中心から弧に向かう対称軸を y 軸とする座標系を
取る．このとき半円盤上の位置 (x, y) を極座標 (r, θ) で表せ．
∫
∫
(3) 重心の位置の x 座標および y 座標が xcm = xdm/ dm，ycm =
で表されることを用いて，重心の位置を求めよ．
∫
∫
ydm/ dm
解答例）
(1)
dm = ρdrdθdr
(2)
x = r cos θ,
y = r sin θ
(3) 対称性から xcm = 0 であるのは明らか．ycm は次のように計算される．
∫ a∫
∫
ycm = ∫
ρd
ydm
0 ∫0
=
dm
π
r2 sin θdθdr
a∫ π
ρd
∫
a
[
−r2 cos θ
∫
0
=
rdθdr
0 0
a
πrdr
∫
=
0
a
2r2 dr
0[
]a
π r2 /2
[
3
]a0
2r /3
=
πa2 /2
4a
=
3π
Ans.6–6
0
]π
0
dr

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