電気情報工学科 C 課程 3 年 2015 年 5 月 12 日確率・統計第 3 回来嶋秀治 (Shuji Kijima) 注意: 参照した文献等の情報を必ず記載すること．今日の話題 1. さまざまな連続分布. (i) 一様分布  (uniform dist.) U(a, b) (a < b)  1 (a ≤ x ≤ b), f (x) = b−a  0 (それ以外). (ii) 指数分布 { (exponential dist.) Ex(λ) (λ > 0) λe−λx (x ≥ 0), f (x) = 0 (x < 0). (iii) 正規分布 (normal N(µ, σ 2]) (−∞ < µ < +∞, σ > 0) [ dist.) ( ) 1 x−µ 2 1 exp − (−∞ < x < +∞) f (x) = √ 2 σ 2πσ (iv) ベータ分布 (beta dist.) Be(α, β) (α > 0, β > 0)  1  xα−1 (1 − x)β−1 (0 ≤ x ≤ 1), B(α, β) f (x) =  0 (それ以外). ∫ 1 α−1 β−1 ただし B(α, β) = 0 t (1 − t) dt. (v) ガンマ分布 (gamma dist.) G(θ, k) (θ > 0, k > 0)  k−1 −x/θ  1 x e · (x ≥ 0), f (x) = Γ(k) θk  0 (x < 0). ∫ +∞ k−1 −t ただし Γ(k) = 0 t e dt. 2. 同時分布，独立同一分布確率変数 X と Y に対して，(X, Y ) の従う分布を同時分布（joint distribution; 結合分布とも）という． F (x, y) := Pr((X ≤ x), (Y ≤ y)) を同時分布関数と言う．X, Y が離散確率変数の場合は，f (x, y) := Pr((X = x), (Y = y)) を同時確率関数と言う．X, Y が連続確率変数の場合は，f (x, y) := (∂ 2 /∂x∂y)F (x, y) を同時密度関数と言う． X と Y が独立であるとは，fXY (x, y) = fX (x)fY (y) が成り立つことをいう．独立同一分布 (i.i.d.) 2 つの確率変数 X と Y が独立同一分布に従う (i.i.d.; independent and identically distributed) とは, X と Y が同一の分布に従い, かつ X と Y が独立であることをいう. 3. 確率変数の期待値, 分散, 共分散, 積率. 実数値をとる離散確率変数 X の期待値 (expectation) E(X) は X の確率関数 f (x) に対して, ∑ def. E[X] = x· f (x). x∈R ∑ ただし右辺の無限和が絶対収束 (converges absolutely; x∈R |x· f (x)| < +∞) する場合に限る. 右辺が絶対収束しない場合は「X の期待値は存在しない」という. 同様に, 実数値をとる連続確率変数 X の期待値 E[X] は X の確率密度関数 f (x) に対して, ∫ def. E[X] = x· f (x) dx. x∈R 1 実数値をとる確率変数 X の分散 (variance) Var(X) は [ ] def. Var[X] = E (X − E[X])2 . 実数値をとる確率変数 X と Y の共分散 (covariance) Cov[X, Y ] は def. Cov[X, Y ] = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])]. 実数値をとる確率変数 X の k 次の積率 (k-th moment) を E[X k ] と定義する. 定理 1. (期待値、分散、共分散の性質) (i) 定数 c に対して, E[c] = c, E[c· X] = c· E[X], E[X + c] = E[X] + c, Var[c] = 0, Var[c· X] = c2 · Var[X], Var[X + c] = Var[X], (ii) E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] (期待値の線形性), (iii) Var[X] = E[X 2 ] − (E[X])2 , Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]· E[Y ], (iv) Var[X + Y ] = Var[X] + 2· Cov[X, Y ] + Var[Y ]. 定理 2. 確率変数の対 X と Y は独立とすると, (i) E[XY ] = E[X]· E[Y ], (ii) Cov[X, Y ] = 0, (iii) Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ]. 演習 *演習 1. 離散確率変数 X は {1, . . . , n} 上の (離散) 一様分布に従うものとする. (i) 長さ X の期待値と分散を求めよ. (ii) 正方形の面積 X 2 の期待値と分散を求めよ. (ii) 立方体の体積 X 3 の期待値と分散を求めよ. *演習 2. 以下の確率分布の期待値と分散を求めよ. (*i) 2 点分布 B(1; p) (*ii) 2 項分布 B(n; p) (iii) 幾何分布 Ge(p) (iv) ポアソン分布 Po(λ) (*v) 指数分布 Ex(α) (vi) 正規分布 N(µ, σ 2 ) 演習 3. 以下の確率変数 X の期待値は存在するか? (i) 離散確率変数 X は次の確率関数に従うとする.    1 (x = (−2)k (k ∈ {1, 2, . . .})), def. 2k f (x) =   0 (それ以外). (ii) 連続確率変数 X は以下の密度関数 def. f (x) = 1 α · π (x − µ)2 + α2 で定義されるコーシー分布 (Cauchy dist.) C(µ, α) に従う. 2