統計II S15 2変数古典的回帰モデル最小二乗推定量の統計的性質 1 古典的２変数回帰モデル推定値(a,b)と未知パラメータ()  = a+bX とY =  + X +  の関係 Y 古典的回帰モデル Y =  + X +  仮定1 Xは非確率的である。仮定2 攪乱項の期待値はゼロ (E() = 0)。仮定3 攪乱項の分散は一定仮定4 攪乱項はお互いに無相関である(Cov(i,j) = 0)。（独立性）仮定5 は正規分布に従う。（正規性） (Var() = )。（均一分散性） 2 仮定 5 正規性(Normality) ~N(0,2) 近似的に従っていると考えてよいケースが多い。消費関数のように撹乱項が所得以外の無数の要因からなる影響の和を表しているような場合、中心極限定理により撹乱項が正規分布に従うと考えられる。仮定1～4 ：古典的(二変数）回帰モデル (CRM, Classical Regression Model) CRM＋仮定5：古典的正規回帰モデル (CNRM, Classical Normal Regression Model) 3 X = X j の時の Y X = X i の時の Y の分布 Y の分布 Xi Xj X 4 2 変数回帰モデルにおける 最小二乗推定値 (a,b)の統計的性質 をb(最小二乗推定量)で推定。  ( X  X )(Y  Y ) / (n  1)  ( X  X ) / (n  1)  x Y   x (   X   ) b x x  x 0,  xX  x  x 第2項は推定誤差 b x  S b  XY2  SX i i 2 i i i i i i i i i 2 i i i 2 i i i i i i i i 2 i i i i i 2 i 期待値 E(b) = E( + ixii/ixi2) =  + ixiE(i)/ixi2 = bはの不偏推定量 5 bの分散 b2 = Var(b) = Var(ixii/ixi2) 仮定１ X,xは非確率的＆Var(a+bX)=b2Var(X) (a,bは定数) = Var(ixii)/ixi2)2 仮定３独立性 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) = iVar(xii)/ixi2)2 仮定１ = ixi2Var(i)/ixi2)2 仮定４均一分散 Var(i)=2 = ixi2/ixi2)2 = /ixi2 6 精度を決める要因：2, ixi2/n, n σ2 b = (Σ i x i2 /n)n 2 精度を上げる（bを小さくする）には、１． n大教訓：(データ数＝情報を増やす) ２．ixi2/n大教訓：(広い範囲からデータ収集）３．2小教訓：(2変数回帰モデルの枠組みの中では対策なし) X以外の要因を考慮（多変数回帰モデル） 7