計量経済学：復習テスト 19 学籍番号氏名 2014 年 12 月 15 日注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出すること． 1. {yt } を次のような AR(1) とする． yt = α + ϕyt−1 + wt ( ) {wt } ∼ WN σ 2 ただし |ϕ| < 1. （a）E(yt ) を求めなさい．（b）var(yt ) を求めなさい．（c）cov(yt , yt−1 ) を求めなさい．（d）ϕ = 1 だと E(yt ) や var(yt ) はどうなるか？ 1 2. (y, X) を長さ T の時系列とする．次のような yt の xt 上への系列相関を持つ線形回帰モデルを仮定する． yt = x′t β + ut ut = ϕut−1 + wt ( ) {wt } ∼ WN σ 2 ただし {ut } は {xt } と独立で，|ϕ| < 1 とする．ϕ は既知とする．（a）(y, X) の Cochrane–Orcutt 変換を与えなさい．（b）変換によって古典的線形回帰モデルが得られることを示しなさい．（c）Cochrane–Orcutt 推定量が BLUE でない理由を説明しなさい． 2 解答例 1.（a） E(yt ) = E(α + ϕyt−1 + wt ) = α + ϕ E(yt−1 ) = α + ϕ E(yt ) α = 1−ϕ （b） var(yt ) = var(α + ϕyt−1 + wt ) = var(ϕyt−1 ) + var(wt ) = ϕ2 var(yt−1 ) + σ 2 = ϕ2 var(yt ) + σ 2 σ2 1 − ϕ2 = （ c） cov(yt , yt−1 ) = cov(α + ϕyt−1 + wt , yt−1 ) = cov(ϕyt−1 , yt−1 ) = ϕ var(yt−1 ) = ϕ var(yt ) = ϕσ 2 1 − ϕ2 （d）分母が 0 なので存在しない． 2.（a）(y, X) の Cochrane–Orcutt 変換は   y2 − ϕy1   .. y(ϕ) :=  , . yT − ϕyT −1   (x2 − ϕx1 )′   .. X(ϕ) :=   . ′ (xT − ϕxT −1 ) （b）t = 2, . . . , T について yt − ϕyt−1 = x′t β + ut − ϕ(x′t−1 β + ut−1 ) = (xt − ϕxt−1 )′ β + ut − ϕut−1 = (xt − ϕxt−1 )′ β + wt したがって E(y(ϕ)|X(ϕ)) = X(ϕ)β var(y(ϕ)|X(ϕ)) = σ 2 IT −1 （c）データを 1 つ捨てているから GLS 推定量でない． 3