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第 13 章の答え
1
1) 線形確率、プロビット、ロジット
2)
順序プロビット、順序ロジット
3) 順序プロビット
4) 多項ロジット、プロビット
2. P{Yi=1} = α+βXi となるため、X が大きすぎたり、小さすぎたりすると、確率は[0,1]区間
内に収まらない。
3
1) Y は 1 もしくは 0 をとる変数ですから、ui は 1-(α+βXi)もしくは-(α+βXi)をとる変数と
なります。また、P{Y=1}=α+βXi から
E[ui] = [1-(α+βXi)]P{Yi=1}-(α+ βXi){1-P{Yi=1}}
=[1-(α+βXi)]{α+βXi}-(α+ βXi){1-α-βXi}=0
2)
E[ui]=0 ですから、V(ui)=E[ui2]となります。つまり、
V(ui)=[1-(α+βXi)]2P{Yi=1}+(α+ βXi)2{1-P{Yi=1}}
=[1-(α+βXi)]2(α+ βXi)+(α+ βXi)2[1-(α+ βXi)]
=(α+βXi)[1-(α+βXi)]
分散は Xi に依存しているため、標準的仮定を満たしていません。よって、質的従属変
数を最小 2 乗法で推定する際は、通常の標準誤差ではなく、Robust Standard Error を用
いる必要があります。
4. 1) 線形確率モデルの推定は確率の公理を満たさない。 2) ディズニーランドからの効用
は大きいなら（Y1i*>Y2i*）、ディズニーランドを選ぶ。逆なら、水族館を選ぶ。これは数式
では
1 if
Yi  
0 if
Y1*i  Y2*i  0
Y1*i  Y2*i  0
となり、さらに Yi*=Y1i*-Y2i*と定義すると、
1 if
Yi  
0 if
Yi*  0
Yi*  0
と表せます。効用は Y1i*=α1*+β1*Xi+u1i*と Y2i*=α2*+β2*Xi+u2i*ですから、
Yi*= Y1i*-Y2i*=(α1*-α2*)+(β1*-β2*)Xi+(u1i*-u2i*)
=α*+β*Xi+ui*
となります。ただし、α*=α1*-α2*、β*=β1*-β2*、ui*=u1i*-u2i*としました。ここで、潜在変数 Yi*
は、各選択肢から得られる効用の差となります。また、閾値 μ は 0 となっています。
5. Yi が yi という値をとる確率は、ui～N(0,σ2)から
f {Yi  y i }  f {α + βX i + u i  y i }  f {u i  y i  α - βX i }

1
2 

2
e
( y i  α - βX i ) 2
2
2
 ( 2 )
1 / 2
( )
2
1 / 2
( y i  α - βX i ) 2
2 2

e
となります。ui が互いに独立であることから、Yi も互いに独立となります。したがって、デ
ータ（Y1=y1, Y2=y2,…, Yn=yn）を得る確率は、
n
f {Y1  y1 , Y2  y 2 ,..., Yn  y n }   f {Yi  y i }
i 1
n
  (2 ) 1 / 2 ( 2 ) 1 / 2 e

( yi  α -βX i ) 2
2 2
i 1
となります。複雑なので対数をとると、対数尤度が得られます。
ln f {Y1  y1 , Y2  y 2 ,..., Yn  y n } 
n
 1
1
1
 2 ln(2)  2 ln( )  2
2
i 1
n
n
1
  ln(2 )  ln( 2 ) 
2
2
2 2
n
(y
i 1
i
2

( yi  α - βXi )2 

 α - βX i ) 2
尤度は積の形になっていますが、対数尤度はシンプルな和になっています。この式をみる
と、α と β は右辺第 3 項だけにあります。第 3 項は－がかかっていますから、対数尤度関数
の最大化とは、残差 2 乗和 Σ(yi-α-βXi)2 の最小化と同じことです。したがって、この場合、α
と β の最尤推定量は最小 2 乗推定量と同じとなります。
6. 1) pi の理論値は[0,1]区間の外に出てしまいます。
2)ロジット変換して ln(pi/(1-pi))=α+βXi+ui という式を推定することが考えられます。線
形モデルを推定したうえで、結果の頑健性を調べるため、ロジット変換した式を推定す
るといいでしょう。

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