解析 I 演習問題 2014-8 問題 0. 所属・学年・番号・氏名問題 1. 双曲線

解析 I 演習問題 2014-8
問題 0.
所属・学年・番号・氏名
問題 1. 双曲線関数は，指数関数 ex を用いて，
cosh x =
ex + e−x
,
2
sinh x =
ex − e−x
2
tanh x =
sinh x
cosh x
によって定められる．このとき，次の問いに答えよ．
(a) 公式
cosh2 x − sinh2 x = 1,
sinh(α + β) = sinh α cosh β + sinh β cosh α,
cosh(α + β) = cosh α cosh β + sinh β sinh α
を示せ．
(b)
(0.1)
(0.2)
− 1 < tanh x < 1,
lim tanh x = 1,
x→∞
lim tanh x = −1,
x→−∞
を示せ．
(c) 導関数
d x
e ,
dx
d
cosh x,
dx
d
sinh x,
dx
d
tanh x
dx
を求めよ．
(d) 双曲線関数の逆関数（逆数関数ではない！）の導関数
d
cosh−1 x,
dx
d
sinh−1 x,
dx
d
tanh−1 x
dx
を求めよ．
(e) y = cosh x, y = sinh x, y = tanh x のグラフの概形を描け．
(f) 不定積分
∫
1
cosh−1 x
√
dx
2
x2 − 1
を求めよ．
1
問題 2. 次の関数 y = f (x) の x = 0 での n 次までのテイラー展開を求めよ．
(0.3)
f (x) = ex
(0.4)
f (x) = cos x
(0.5)
f (x) = sin x
(0.6)
f (x) = log (x + 1)
√
f (x) = cos x
(0.7)
問題 3. 次の定積分の値を求めよ．
∫ √3 √
(0.8)
3 − x2 dx
1
∫
1
(0.9)
−1
1
|ex − 1| dx
∫
(0.10)
x2
0
∫
b
(0.11)
√
x+1
dx
+x+1
(x − a)(b − x) dx (a < b)
a
∫
π/2
(0.12)
0
1
dx (0 < a < 1)
1 + a cos x
問題 4. f (x) を区間 [a, ∞) で連続な関数とする．a ≤ c となる点 c > 0 と定数
M > 0 と定数 q > 1 が存在して，
xq |f (x)| ≤ M
が成り立っていると仮定する．
(1) 不定積分および広義積分
∫ t
x−q dx,
∫
c
を求めよ．
(2) 広義積分
(c ≤ x < ∞)
∞
x−q dx
c
∫
∞
|f (x)| dx
a
は収束することを示せ．これにより，広義積分
∫ ∞
f (x) dx
a
は収束することを示せ．
(3) 非負整数 n に対して，広義積分
∫ ∞
xn e−x dx
0
の収束，発散を求め，収束する場合はその値を求めよ．
2

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