null

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上半平面の双曲幾何：測地線・曲率
具体的な計算例として
電通大数学：山田裕一 2/13
双曲幾何の上半平面モデル
{
H = (x, y) ∈ R2 | y > 0
}
計量
計量を内積行列で表すと


1
 y2
G=
0
dx2 + dy 2
y2
(
0

1 ．
−1
逆行列は G
=
y
2
0
y2
)
0
y
2
．
つまり,
g11 =
1
y
,
2
g22 =
1
y
,
2
g 11 = y 2 ,
g 22 = y 2 ,
それ以外は = 0.
「Levi-Civita 接続」を算出する公式を適用して....
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「Levi-Civita 接続」を算出する公式
(
)
∑
∂g
∂g
∂gki
1
kj
ij
α
kα
g
Γ ij =
+
−
2 k
∂xj
∂xi
∂xk
を適用して,
Γ112
=
Γ121
1
=− ,
y
Γ211
=
1
y
,
Γ222
接続の行列は

1
− dy
 y
A=
 1
dx
y

− dx
y 

1 
− dy
y
1
=− ,
y
それ以外は = 0.
1
説明：A の (i, j) 成分（１次微分形式）の dxk の関数が Γijk
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測地線の確認
L
C
α
L が測地線
(
単位上半円：c(t) = (x(t), y(t)) = tanh(t),
1
)
cosh(t)
確認せよ：x(t)2 + y(t)2 = 1（単位円）
5/13
測地線 c(t) = (c1 (t), c2 (t), · · · , cn (t)) の方程式
dc (t) ≡ 1,
dt d2 ci
dt2
+
∑
Γijk
k
dcj dck
dt dt
=0
(i = 1, 2, · · · , n)
今測地線 c(t) = (x(t), y(t)) の方程式は
 2
d x
1 dx dy


−2
=0


2
dc y dt dt
dt
(t) ≡ 1,
(
)2
( )2
dt 2

1 dx
d y
1 dy



+
−
=0
2
y dt
y dt
dt
前頁のメモ Γ112
=
Γ121
1
=− ,
y
Γ211
=
1
y
,
Γ222
1
=− ,
y
(
単位上半円：c(t) = (x(t), y(t)) = tanh(t),
1
)
cosh(t)
の速度ベクトル，加速度ベクトルは
2
3
dx
6 dt 7
dc
6
7
(t) = 6
7 =
4 dy 5
dt
dt
2 2 3
d x
6 dt2 7
d2 c
6
7
(t)
=
6
7=
2
4 d2 y 5
dt
dt2
2
6
6
6
4
1
−
2
6
6
6
6
4
−
3
cosh2 (t) 7
7
7,
sinh(t) 5
cosh2 (t)
2 sinh(t)
−
cosh3 (t)
3
7
7
7
7
cosh2 (t) − 2 sinh2 (t) 5
cosh3 (t)
これらが測地線の方程式をみたすことは，計算で確かめられる．
cosh(t) を c，sinh(t) を s と略して 6/13
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双曲幾何：曲率の確認
Ω = dA + A ∧ A の計算例
接続の行列 A は

1
− dy
 y
A=
 1
dx
y

− dx
y 

1 
− dy
y
1
だった 8/13
第１項 dA：各成分を外微分
 1
− dy
 y
A=
1
dx
y

1
− dx
y 
1
− dy
y
,


dA = 
1
y2
0
dx ∧ dy
−
1
y2

dx ∧ dy 


0
計算の要点：２次微分形式の性質 dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0,
dy ∧ dx = −dx ∧ dy.
(1, 1) 成分は
„
«
„
«
„
«
1
∂
1
∂
1
d − dy =
−
dx ∧ dy +
−
dy ∧ dy = 0
y
∂x
y
∂y
y
(1, 2) 成分は
„
«
„
«
„
«
1
∂
1
∂
1
d − dx =
−
dx ∧ dx +
−
dy ∧ dx
y
∂x
y
∂y
y
1
1
=0+
dy ∧ dx = − dx ∧ dy
2
y
y2
残り２成分も同様
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第２項 A ∧ A 行列の積を ∧ 積に読み替える
0 1
1 0 1
1
1
1
− dy − dx
− dy − dx
B y
C
B
y
y
y C
∧
A ∧ A= @ 1
A
@
A
1
1
1
dx
− dy
dx
− dy
y
y
y
y
0
1 0
1
„
«2
dy
dx
dy
dx
1
@
A
@
A
= −
∧
y
−dx dy
−dx dy
0
1
dy ∧ dx + dx ∧ dy
1 @ dy ∧ dy − dx ∧ dx
A
=
y2 −dx ∧ dy − dy ∧ dx −dx ∧ dx + dy ∧ dy
0
1
0 0
@
A
=
0 0
10/13
以上から, 双曲幾何の場合に, 曲率形式は


1
0
− 2 dx ∧ dy 

y

Ω=
1

dx ∧ dy
0
2
y
曲率テンソル Rα βkl を求める. 曲率形式との関係は
∑
Rα βkl dxk ∧ dxl
Ω の (α, β) 成分 Ωαβ =
k,l
ここで, 曲率テンソルの歪対称性 Rα βkl = −Rα βlk
（特に Rα βkk = 0）
に注意する（流儀が分かれる）．
(
)
1
1
dy ∧ dx に読み替える．
dx ∧ dy を dx ∧ dy + −
2
2
11/13
２次元の場合で具体的に書くと
Ωαβ = Rα β11 dx ∧ dx + Rα β12 dx ∧ dy
+Rα β21 dy ∧ dx + Rα β22 dy ∧ dy
= 0 + Rα β12 dx ∧ dy + (−Rα β12 )(−dx ∧ dy) + 0
= 2Rα β12 dx ∧ dy
という関係式になっている.（2 に注意）双曲幾何の場合は
1
2y 2
1
=
2y 2
R1 212 = −
R2 112
1
2y 2
1
=− 2
2y
R1 221 =
R2 121


Ω=
1
y2
0
dx ∧ dy
−
それ以外の Rα βkl = 0.
1
y2

dx ∧ dy 


0
12/13
リッチテンソル Rµν の定義式は
Rµν =
∑
Rα µαν
α
双曲幾何の場合は
R11 = R1 111 + R2 121 = −
1
R21 = R
211
2
+R
221
1
2y2
R12 = R1 112 + R2 122 = 0
1
=0
R22 = R
0
1
B− 2y2
Ric = B
@
0
R
1
212
R2 112
1
=− 2
2y
1
=
2y 2
R
1
221
R2 121
1
=
2y 2
1
=− 2
2y
+R
222
=−
1
0
−
212
2
C
C
1 A
2y2
それ以外の Rα βkl = 0.
1
2y2
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スカラー曲率 R の定義式は
R=
∑
g µν Rµν
µ,ν
双曲幾何の場合は
R = g 11 R11 + g 12 R12 + g 21 R21 + g 22 R22
)
(
)
(
1
1
2
2
=y − 2 +0+0+y − 2
2y
2y
= −1
球面（曲率が正）と対照的 
1
− 2y 2
(
)
Ric = Rµν = 

0

0
−


1 
2y 2

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